杜子芳，常志勇，2

（1．中国人民大学 统计学院，北京100872；2．河南科技大学 数学与统计学院，河南 洛阳471023）

一、典型相关分析概述

在两个随机向量之间的建模问题中，逻辑上，只有在两个随机向量之间存在关系的基础上，才能建立这两个随机向量之间的定量模型。两个随机向量之间关系的统计刻画就是典型相关分析。典型相关分析是随机向量之间建模问题的前奏，在多元统计建模中发挥着至关重要的基础作用。

设两个随机向量分别为

X＝ （X1，X2，…，Xp）′

Y＝ （Y1，Y2，…，Yq）′

（不失一般性，设p＜q）

寻找适合的系数向量

a＝ （a1，a2，…，ap）′和b＝ （b1，b2，…，bq）′

使得由此生成的线性组合对

U＝a′X＝a1X1＋a2X2＋…＋apXp

V＝b′Y＝b1Y1＋b2Y2＋…＋bqYq

拥有最大的相关系数［1］。

由拉格朗日乘数法求得，共有k≤min（p，q）组典型相关变量，每组典型相关变量的系数向量a＝（a1，a2，…，ap）′和b＝ （b1，b2，…，bq）′为对应于同一个特征值λ2的特征向量。

在实际场合，以下指标都可用来衡量两组数值型随机向量的相关关系［2］315－322，并统称为广义相关系数。

在广义相关系数中，可以证明：ρ（4）是偏大的，ρ（5）是偏小的，另外三种是适中的。依一般思维惯性，极容易产生适中的比较有代表性因而更有价值的结论，但在典型相关分析中，极值更有价值。因为典型相关分析是其他多元统计分析的前奏，若广义相关系数特别是那些本身偏大的广义相关系数不高，则说明因变量组与自变量组之间肯定无法建立起有效的因果模型；反之有可能建立起有效的因果模型。同理，若广义相关系数即使是那些本身偏小的广义相关系数都很高，则说明因变量组与自变量组之间有可能（但并无把握）建立起有效的因果模型。……