张兆霞，刘名生

(华南师范大学数学科学学院，广东广州510631)

用Ap表示具有以下形式

且在单位圆盘U 内解析的函数f 所成的函数类.

如果f 由式(1)定义，g 定义如下

那么f 和g 的卷积定义为:

由Pochhammer 定义的符号(λ)n:

定义函数lFm(α1，…，αl;β1，…，βm;z)如下:

利用函数l Fm(α1，…，αl;β1，…，βm;z)，DZIOK等［1］引入了如下的线性算子(被普遍称为Dziok－Srivastava 算子)

为简化这个记号，记

由式(3)有

近几年来，一些作者得到有关Dziok－ Srivastava 算子(α1)的有趣的结果［1－9］.

定义1［10］函数fAp称为属于函数类(α1;h)，如果它满足如下的从属关系:

定义2［9］函数fAp称为属于函数类(λ;α1;h)，如果它满足如下的从属关系:

定义3［9］函数fAp称为(λ;α1;h)函数类，如果满足如下的从属关系:

注1 在式(8)中的≺为从属符号.

为了得到本文的结果，首先介绍下面的引理:

引理1［2］设p 在单位圆盘U 上解析，且在单位圆盘U 上满足p(0)=1 以及p(z)≠0，如果存在一点z0U 使得和成立，其中η ＞0，那么有

其中

引理2［12］设g(z)在单位圆盘U 上单叶解析，并且令θ(ω)和φ(ω)在区域D 上解析且包含g(U)，当ωg(U)时，有φ(ω)≠0. 令并且假设

(i)Q(z)在单位圆盘U 上单叶星象，

如果p(z)在单位圆盘U 上解析，且p(0)=g(0)，p(U)⊆D，

那么p(z)≺g(z)，并且g(z)是式(9)的最佳控制.

引理3［9］设h(z)P，令λ≥0，则

引理4［9］设h(z)P，Re{ph(z)+α1－p}＞0(zU)，则

注意到式(6)，有

以及

若0≤λ≤1，根据式(10)、(11)得

引理6［9］设，且满足

引理7［9］设，λ≥0，则(λ;α1+1;h)(α1;h).

应用引理6，类似于引理5 可得

引理9［9］设f(α1;φ)，则

下面给出本文的主要结果.

证明 对b=0，结论显然.下设b≠0.令

现在假设Re{p(z)}≯0，则存在一点z0U{0}，使得

成立，则p(z0)≠0 (l≠0). 根据引理1 得

定理2 若α1＞0，a ＞0，b ＞0，且fAp满足

证明 若b=0，结论显然.下面假设b≠0. 令

那么式(13)变为

令g(z)=1 +z，θ(ω)=aω，φ(ω)=b/(pω)，则在引

理2 中取D={ω:ω≠0}，得到函数

在单位圆盘U 上单叶解析，且

对|z| =1 和z≠－1，有

那么得到

根据引理2 得p(z)≺g(z)=1 +z. 得证.□

由引理3 和引理5 可证明定理3 成立.

由引理6 和引理8 可证明……