吴 敏，翁佩萱

(华南师范大学数学科学学院，广东广州510631)

全世界每年都有成千上万的人们遭受着传染病所带来的痛苦，故传染病模型的研究得到广泛的关注［1］. 生态模型的建立和对其稳定性的研究［2］有助于控制传染病的传播. 1927年，KERMACK 和MCKENDRICK［3］建立了第一个传染病模型(简称KM 模型)，此后许多学者陆续引进SIS、SIR、SIRS等模型来描述不同种类型的传染病［4－6］，其中SIR传染病模型是一类重要的人口模型，并得到广泛的关注［7］. 另一方面，个体由于年龄阶段不同，会产生相应的一些与年龄阶段相关的疾病，因此关于具有阶段结构的模型研究的相关文献也有很多［8］.

2002年，XIAO 等［9］提出了一个阶段结构的SIR 模型并研究其动力行为. 他们将种群划分为成年和未成年两个阶段，并假设成年人口不染病，疾病只在未成年人口间传播，实际上，例如麻疹、腮腺炎、水痘和猩红热等疾病就只在未成年人中传播.他们研究的具体模型如下:

其中S(t)、Ⅰ(t)和R(t)分别表示未成年的易感类、染病类和具有免疫力的恢复类的人口密度，y(t)表示成年的人口密度. 假设方程中所有系数均为正常数，α 表示未成年人口的出生率，β (0 ＜β ＜1)表示新出生个体中具有终生免疫力的概率，(1－β)表示新出生个体中易感类的概率，b1表示易感类转变成染病类的转化率，b2表示染病类转变成恢复类的转化率，τ表示未成年个体的成熟期，r1、r2和r3分别表示易感类、染病类和恢复类的死亡率，由生物意义知r2≥r1. 最后，假设成年人口的死亡与成年人口数的平方成……