丁时进

(华南师范大学数学科学学院，广东广州510631)

1888年，人类发现了液晶. 液晶技术现在广泛应用于温度感测器、光记忆设备、液晶电视、电脑以及各种显示设备.液晶是固体和液体之间的中间状态.在不同的温度下，液晶材料可以呈现为液体、液晶和固体状态.在液晶状态，材料像流体一样流动但其分子保持着晶体分子的有向结构特性. 根据分子方向向量场的不同特性，液晶材料分为向列型(Nematic)液晶、胆甾型(Cholesteric)液晶、近晶型(Smectic)液晶等［1］.

液晶中观察到的缺陷(defects)、相变现象、分子分布规律(单轴或者双轴)以及它们的动力学规律是液晶工业技术中最受重视的问题，因为它们直接关系到液晶设备的制造［1］.描述这些现象最有力的工具就是适当的数学模型. 上世纪50年代以来，物理学家和数学家先后建立了各种数学模型. 经典的液晶模型是Oseen-Frank 模型和Ericksen 模型［2-3］.但是它们有着这样或那样的缺陷.Oseen-Frank 模型只能刻画点态缺陷，Ericksen 模型只能刻画分子的单轴分布［4］.针对这些问题，Landau-de Gennes 从统计物理角度出发，针对向列型液晶提出了能全面描述液晶物理现象的Q-tensor 模型，称为Landau-de Gennes 理论［1］.该理论的提出是P. G. de Gennes 获得1991年诺贝尔物理学奖的重要因素.针对实际之中关注的问题，从数学上来看就是关心解的奇性、相变的数学机理以及动力学方程组解的整体存在性、正则性以及奇性的动力学.然而，一般情形下这些泛函不具有强制性和凸性，对应的偏微分方程不是椭圆型或抛物型的，而且具有强非……