孙佳龙，郭金运，郭淑艳

(1.淮海工学院测绘工程学院，江苏连云港222001;2.山东科技大学测绘科学与工程学院，山东青岛266510;3.海岛(礁)测绘技术国家测绘局重点实验室，山东青岛266510)

一、引 言

电离层电子浓度总含量(total electron content，TEC)是描述电离层形态和结构的重要参数，其时空变化会对各种无线电通信系统产生不可忽视的影响。为提高测绘、航空航天和国防等领域开展的远程空间探测、定位和通信的工作性能，需要提供较高精度的电离层TEC预报结果［1-2］。

对于数小时至数天的短期预报，通常采用线性时间序列预测模型(如ARMA或AR模型)进行预报［3-5］，而对于电离层TEC的非线性预报模型特别是混沌模型的研究则较为少见［6］。加权一阶局域法是较为有效且精度较高的一种混沌预测方法，而加权一阶局域法通常采用距离(欧氏距离)基准相点最近的几个相点作为拟合参数的参考点，以实现短期预测［7-8］。参考邻域与基准相点的相关性越高，预测精度越有保证。相关性高的相点在时间轴上具有相似的形状，当嵌入维数较小时，通过欧氏距离选择的参考邻域可以反映这种相关性;但当嵌入维数逐渐增大时，其局限性则开始逐步显现［9］。而夹角余弦是利用向量空间中两个向量夹角的余弦值作为衡量两个向量间差异的大小，夹角余弦值越大，夹角越小，相关性越高。因此，本文提出采用夹角余弦作为反映向量相关性的一种指标，对相似相点进行有效选择［10］。

本文采用IGS(International GNSS Service)提供的全球经度方向间隔5°、纬度方向间隔2.5°格网，时间间隔为2 h的全球电离层TEC时间序列，利用混沌预测理论对该时间序列的混沌特征进行分析，并利用基于夹角余弦的加权一阶局域混沌预测模型对电离层TEC进行准确地预报。

二、混沌序列的相空间重构理论与预测

Takens定理认为系统中任一分量的演化都是由与之相互作用着的其他分量所决定的。因此，这些分量的信息隐含在任一分量的发展过程中，重构系统相空间只需考察一个分量，通过某些固定的延时点上的观测值找到相应的m维分量，就可以重构出一个等价的相空间［11］。如何选择适当的时间延迟和嵌入维数是相空间重构的主要内容。在利用重构的相空间进行预测时，最大Lyapunov指数不仅可以作为判定系统是否具有混沌特性的依据，而且其倒数还可作为系统的可预报尺度，为准确地预报提供尺度上的依据［11］。

1.时间延迟τ和嵌入维数m

时间延迟τ是计算其他参数的基础，它表示相空间中相矢量的各分量在时间序列中时间间隔的大小［7］。计算时间延迟的方法主要有自相关法、平均位移法、复自相关法、去偏自相关法、互信息法和C-C法等［8］。由于去偏自相关法具有很强的理论依据，数学表达式简洁，复杂程度适中，且容易计算，因此本文采用去偏自相关法计算时间延迟。

去偏自相关法的计算公式为

式中，N为样本个数;xi为第i个样本;为时间序列的平均值。

随着τ值的不断增加，Rxx不断减小，当Rxx减小到初始值的1－时，此时的τ值就是重构相空间的时间延迟。计算嵌入维数m的方法主要有伪最近临域法、真实矢量法、Cao方法及饱和关联维数(G-P)法等［7］。其中，G-P法是最常用的计算嵌入维数的方法，因此本文采用G-P算法计算嵌入维数［9］。

2.最大Lyapunov指数

Lyapunov指数是定量描述混沌运动对初值条件的敏感性的吸引子特征量［11］。若系统的最大Lyapunov指数为正，则系统是混沌的，其值越大，混沌特性越强，对初始值的敏感性也越强;反之则敏感性越弱。最大Lyapunov指数的倒数可作为系统的可预报尺度，即只有在该预报尺度范围内，才能对系统作高精度的预测。

Lyapunov指数可定义为

3.混沌预测方法

加权一阶局域法是以相空间轨迹的最后一点作为中心点，把离中心点最近的若干轨迹点作为相关点，以X(t+1)=a+b X(t)来拟合中心点周围的小邻域的。设中心点周围的邻域包括k个点(t1，t2，…，tk)，则X(t+1)=a+b X(t)可以表示为

用最小二乘法求出a和b，再通过X(n+1)=a+b X(n)得到相空间中轨迹的趋势，从而可以从X(n+1)中分离出时间序列的预测值。对于中心点周围邻域内相关点的个数k，如果k值过大，则会影响预测的效果，通常选择k≥m+1即可，m为嵌入维数。在选择相关点时，本文采用夹角余弦作为两空间向量相似度的指标，夹角余弦是用向量空间中两个向量夹角的余弦值作为衡量两个向量间差异的大小，其表达式为［9］

式中，m为嵌入维数;Xi和Xj为基准相点邻域内任意两个相点。

三、电离层TEC的混沌特征分析与预测

本文选取东经120°，北纬45°上空的2008年年积日101～150 d时间段内共600个电离层格网TEC数据为时间序列样本，时间间隔为2 h。利用去偏自相关法计算时间延迟τ=2，利用G-P法计算的关联积分和关联空间维数如图1所示。从图1(a)中可以看出，当m＞5以后，曲线的左端有一段近似直线的线段，其斜率为2.2632，且基本不随嵌入维数m的变化。从图1(b)也可以看出，在m≥5的区间内，关联维数d在一定误差范围内保持不变。理论上，嵌入维数m应在d～2d+1之间，因此本文取嵌入维数m=5。

图1 电离层TEC时间序列的关联积分和关联空间维数

采用Wolf方法［8］计算时间序列的最大 Lyapunov指数 λ=0.083 3，由此可得最大预报尺度≈12，即有效预报尺度为12个相空间点，由于该

时间序列的时间间隔s即它的平均周期为14，换成时间序列中的点则是168个点(12s=12×14=168)。将TEC数据分为前后两部分，前部分用来分析，在对TEC数据前半部分进行分析的基础上，对后半部分进行预测，并将预测结果和实测值进行比较。由于时间序列的嵌入维数为5，因此利用加权一阶局域法预测时，基准相点周围邻域内相关点的个数k=6，由欧氏距离和夹角余弦得到的相似相点与基准相点如图2所示。

图2 基于欧氏距离和夹角余弦得到的相似相点

图2中，实线为基准相点;虚线为相似相点。从图2中可以看出，基于两种方法得到的相似相点有一部分是重合的，说明利用欧氏距离和夹角余弦在某种情况下选择的目标具有一致性。由于存在不同的相似相点，因此导致这种方法在最终搜索到的所有相似相点与基准相点的运动趋势上有所差别。而基于夹角余弦(如图2(b)所示)得到的相似相点与基准相点在相空间上的运动趋势比基于欧氏距离(如图2(a)所示)得到的相似相点更为相似，相关性更高。为了更细致地比较利用这两种方法搜索到的相关相点的相似性情况，本文分别将基于欧氏距离(Euclidean distance，ED)和夹角余弦(cosine，C)得到的相关点的各分向量与基准相点的分向量求取差值，并比较差值的最大值、最小值、平均值、STD和RMS，结果见表1。

从表1中可以看出，6个相似相点与基准相点的差值中，除第4分向量，夹角余弦(C)得到差值的最大值高于欧氏距离外，其余最大值结果均相差无几，说明两种方法得到的结果在整体上的差异不大;而两种方法得到的差值的STD中，夹角余弦除在第4分向量略大于欧氏距离外，在其他4个向量中，均小于欧氏距离，由此说明，夹角余弦得到的相似相点在整体离散程度上优于欧氏距离;而在衡量相似相点与基准相点之间偏差的指标RMS中，夹角余弦除在第4分向量略不及欧氏距离外，在其余4个分向量中，均优于欧氏距离方法，由此可见，夹角余弦方法得到的相似相点在整体上比欧氏距离方法更相似于基准相点。

为了比较和验证以上两种方法选择的相似相点所取得的预测效果，本文对时间序列最后168个TEC数据进行了预测，预测结果如图3所示。

从图3中可以看出，两种方法得到的预测值与TEC实测值的变化趋势基本吻合，而在时间序列的峰值和谷底，由夹角余弦得到的预测值比由欧氏距离得到的预测值更接近于实测值。由两种方法得到的预测值与实测值之间差值的各种指标见表2。

图3 基于欧氏距离和夹角余弦得到的TEC预测结果

表2 夹角余弦和欧氏距离得到的预测值与实测值的比较结果

从表2中可以看出，使用夹角余弦得到的预测值与实测值之间的最大差值比欧氏距离小，说明在时间序列的峰值和谷底，该方法得到的预测值更接近于实测值。而该方法得到的差值的STD和RMS都小于欧氏距离，说明无论在差值本身离散程度上还是与实测值的偏离程度上，夹角余弦都优于欧氏距离，因此精度更高。由此可见，当嵌入维数较高时，夹角余弦比欧氏距离能更准确地反映相空间向量的相似性，从而寻找到与基准相点更为相似的相关相点，因此可以提高预测精度。

四、结束语

本文根据混沌理论，以东经120°，北纬45°上空的2008年年积日101～150 d时间段内共600个电离层格网TEC数据作为研究样本，分析了该点上空电离层TEC参数的混沌特性，发现其关联维数为2.263 2，嵌入维数 m=5，最大 Lyapunov 指数为0.083 3，TEC时间序列具有混沌的特征，存在混沌现象。因此，可以使用混沌理论对TEC时间序列进行预测。

采用加权一阶局域法对TEC时间序列进行预测时，分别采用欧氏距离和夹角余弦作为衡量指标选择与基准相点相似的相关相点。结果表明，夹角余弦除在第4分向量略不及欧氏距离方法外，在其余4个分向量中，均优于欧氏距离方法。

利用两种方法选择的相似相点进行一阶局域预测时，夹角余弦得到的STD和RMS均小于欧氏距离得到的STD和RMS，说明夹角余弦可以准确地选择与基准点相关性更强的相似相点，从而能提高预测精度。因此，预测精度更高。

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