张 万 儒

(河西学院 数学与统计学院,甘肃 张掖 734000)

本文所有的环都是有单位元的结合环.对于环R,用R[x]表示R上的多项式环,R[[x]]表示R上的幂级数环,nil(R)表示R中所有幂零元做成的集合,nil(R)[[x]]表示R[[x]]中系数是幂零元的所有幂级数做成的集合,Mn(R)表示R上的n阶矩阵环.

定义1[1]如果R[x]中任意非零多项式f(x)和g(x),当f(x)g(x)=0时,存在非零元c∈R,使得f(x)c=0(cg(x)=0)成立,则称环R是右(左)McCoy环.如果R既是左McCoy环,又是右McCoy环,则称R是McCoy环.

定义2[2]如果R[[x]]中任意非零幂级数f(x)和g(x),当f(x)g(x)=0时,存在非零元c∈R,使得f(x)c=0(cg(x)=0)成立,则称环R是右(左)幂级数McCoy环.如果R既是左幂级数McCoy环,又是右幂级数McCoy环,则称R是幂级数McCoy环.

幂级数McCoy环是McCoy环,文献[2]中例2.6表明,反之并不成立.

定义3[3]如果R[x]中任意非零多项式f(x)和g(x),当f(x)g(x)∈nil(R)[x]时,存在非零元c∈R,使得f(x)c∈nil(R)[x](cg(x)∈nil(R)[x])成立,则称环R是右(左)诣零McCoy环.如果R既是右诣零McCoy环,又是左诣零McCoy环,则称R是诣零McCoy环.

文献[1,4-7]给出了McCoy环的相关性质和实例；文献[2]研究了幂级数McCoy环;文献[3,8]给出了诣零McCoy环的相关性质和实例.本文在幂级数环中讨论环的诣零McCoy条件,引入了诣零幂级数McCoy环的概念,给出了诣零幂级数McCoy环的例子,并讨论了诣零幂级数McCoy环的基本性质及诣零幂级数McCoy环的扩张.

定义4设R是环,如果对R[[x]]中任意非零幂级数f(x)和g(x),当f(x)g(x)∈nil(R)[[x]]时,存在非零元c∈R,使得f(x)c∈nil(R)[[x]](cg(x)∈nil(R)[[x]])成立,则称R是诣零幂级数右(左)McCoy环.如果R既是右诣零幂级数McCoy环,又是左诣零幂级数McCoy环,则称R是诣零幂级数McCoy环.

设R是环,Tn(R)表示R上的n×n上三角矩阵环.记

按通常的矩阵加法和乘法,Sn(R)和Dn(R)分别构成Tn(R)的子环.

设R是环,RMR是R双模,T(R,M)={(a,x)|a∈R,x∈M}.规定T(R,M)上的加法为对应分量相加,乘法为(a1,x1)(a2,x2)=(a1a2,a1x2+x1a2).按规定的加……