韦玉程,刘广刚

(1. 河池学院 数学系,广西 宜州 546300;2. 吉林大学 数学学院,长春 130012)

0 引 言

许多实际问题中,偏微分方程(PDE)的解通常与其对应的能量泛函临界点紧密相关,但在证明能量泛函临界点的存在性时,需验证(PS)序列的有界性. 为克服这一困难,Struwe[1]引入了单调性技巧,证明了能量泛函在某种单调性下,可导出(PS)序列的有界性[2]. 之后,该方法被用于极小化问题[3]以及环绕问题[4]中. Jeanjean[5]将单调技巧推广到更抽象的形式中,目前已被应用于其他数学物理方程中[6-10]. 本文基于弱环绕定理[8-9],考虑一类非合作的耦合非线性椭圆方程组,使用单调性技巧证明了该方程组存在非平凡解.

考虑方程

(1)

其中:Ω⊂RN(N≥3)为光滑有界域;F(x,u,v)∈C1(Ω×R2,R). 为方便,记z=(u,v). 假设条件如下：

(H0) (关于x∈Ω一致成立;

(H2) |F(x,z)|=o(|z|),当|z|→0时,关于x∈Ω一致成立;

本文的主要结果如下：

定理1假设条件(H0)～(H6)成立,则方程(1)有非平凡解.

例1设F(x,u,v)=(|u|+|v|)p,其中p>2. 显然F(x,u,v)满足假设条件(H0)～(H6).

例2设

其中:g(x)>0且为周期函数;参数p满足(H1)及0<ε

不难验证F(x,u,v)也满足条件(H0)～(H6).

1 预备知识

用‖·‖Lq表示Lq(Ω,R)空间的范数. 记

H={u:Ω→R|u绝对连续,且u|∂Ω=0,|u|∈L2(Ω,R)}.

∀z∈E.

由文献[11]中命题1.1知,存在常数a0>0,使得

∀z∈E.

(2)

定义泛函

(3)

则由经典结果知式(3)的临界点即为方程(1)的弱解. 由假设条件知I∈C1(Ω×R2;R). 记Lz=(-Δu,Δv)T,则线性算子L具有如下特征值:

…≤-λm≤…≤-λ2≤-λ1<λ1≤λ2…≤λm…,

且λm→ ∞(m→ ∞). 记E0=KerL,E-与E+分别表示L的负特征子空间与正特征子空间， 则E=E0⊕E+⊕E-. 显然0∉σ(L). 对任意的z∈E,z=z++z-(z±∈E±)， 则有

(4)

设(E,‖·‖)是一个Hilbert空间,正交分解为E=N ⊕N⊥,其中N ⊂E为闭的可分子空间. 对于任意的n∈N,存在一个范数‖·‖ω,使得其诱导的拓扑与N上的弱拓扑在有界子集上等价,且‖n‖ω≤‖n‖. 在E中引入范数‖z‖w=‖n‖ω+‖n⊥‖(z=n+n⊥).

对于E=E+⊕E-,z0∈E+且‖z0‖=1,取N =E-⊕Rz0,记

对于E上形如Iλ(z)=J(z)-λK (z)的泛函,可得如下弱环绕……