刘丽环, 常 晶,2, 冯 雪

(1. 空军航空大学 基础部, 长春 130022; 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012)

非线性发展方程在物理学、 化学、 力学及机械工程等领域应用广泛, 关于其行波解的研究目前已有许多方法, 如齐次平衡法[1]、 双曲函数法[2]、 正切函数法[3-4]、 双线性方法[5]、F-展开法[6]等, 但这些方法求解速度均不理想, (G′/G)展开法[7]则很好地解决了该问题.

本文基于齐次平衡法和(G′/G)展开法求解KdV-mKdV方程和Zhiber-Shabat方程的行波解. 结果表明, (G′/G)展开法求解非线性方程行波解简明、 有效.

1 KdV-mKdV方程

考虑如下形式的KdV-mKdV方程:

ut+2uux+3u2ux-uxxx=0.

(1)

先假设其行波解为

u(x,t)=u(ξ),ξ=x-vt.

(2)

将式(2)代入式(1)可得, -vu′+2uu′+3u2u′-u‴=0. 两边积分得

C-vu+u2+u3-u″=0,

(3)

其中C为常数. 假设式(3)的解u(ξ)可表示成关于(G′/G)具有如下形式的多项式:

(4)

其中:ai≠0,m是待定常数;G=G(ξ)满足如下二阶常微分方程:

G″+λG′+μG=0.

(5)

由式(4)及齐次平衡法可得3m=m+2, 即m=1, 于是

(6)

把式(6)代入式(3), 整理(G′/G)各次幂系数并令其等于零, 可得如下代数方程组:

利用Matlab数学软件可得以下两种情形的解.

情形1)

情形2)

在情形1)下, 可得方程(1)相应的行波解为:

1) 当λ2-4μ>0时,

2) 当λ2-4μ=0时,

3) 当λ2-4μ<0时,

其中

在情形2)下, 方程(1)相应的行波解为：

1) 当λ2-4μ>0时,

其中

2) 当λ2-4μ=0时,

其中

3) 当λ2-4μ>0时,

其中

2 Zhiber-Shabat方程

Zhiber-Shabat方程为

wxt+pew+qe-w+re-2w=0,

(7)

其中w为关于(x,t)的函数. 对于方程(7), Conte等[8]获得了两类行波解, Tang等[9]利用分支理论讨论了各种参数情形下行波解的存在性. 本文考虑应用(G′/G)展开法获得其他形式的行波解.

为方便, 令u=ew, 则有

(lnu)xt+pu+qu-1+ru-2=0.

(8)

同理设其行波解为式(2)的形式, 将式(2)代入式(8)并化简可得

-vu″u+v(u′)2+pu3+qu+r=0.

(9)

假设式(9)的解u(ξ)可表示成关于(G′/G)的式(4)形式的多项式, 则根据式(4)及齐次平衡法可得2m+2=3m, 即m=2, 于是

(10)

将式(10)代入式(9), 有

令式(11)中(G′/G)各次幂的各项系数为0, 则有下列……