吴秀兰, 高文杰

(1. 吉林大学 数学研究所, 长春 130012； 2. 吉林师范大学 数学学院, 吉林 四平 136000)

0 引 言

考虑如下初边值问题:

(1)

其中: 00;Ω⊂RN(N>4)是边界光滑的有界区域. 文献[1]研究了问题(1)非负解的存在唯一性. 熄灭现象是发展方程的一个重要特征, 关于抛物方程解的熄灭现象研究目前已有很多结果[2-6]. 文献[7-8]分别利用上下解的方法给出了当q=1或β=0时, 问题(1)解的熄灭条件及衰退估计. 本文给出0

引理1[9]设y(t)在[0,+∞)上非负绝对连续, 且满足

这里:α>0且为常数;k∈(0,1). 则

1 主要结果

-Δφ=λφ(x),φ|∂Ω=0.

(2)

本文φ1(x)≥0是对应于第一特征值λ1的特征函数, 且‖φ1‖L∞(Ω)=1.

定理1设0

其中: 当t∈[T1,+∞)时, ‖u‖2=0;

(3)

(4)

(5)

2) 如果0

其中: 当t∈[T2,+∞)时,‖u‖s+1=0;s>1;

(6)

(7)

(8)

证明: 1) 考虑(N-4)/N≤m<1情形. 在式(1)第一个方程两端同时乘以u, 并在Ω上分部积分, 有

由于λ1是第一特征值, 则有

从而有

(9)

(10)

(11)

其中k1定义如式(3). 注意到min{q+1,m+1}≤k1≤max{q+1,m+1}, 所以, 结合式(2),(10)有

令C1如式(4), 则有

其中: 当t∈[T1,+∞)时, ‖u‖2=0;T1定义如式(5).

2) 考虑0

(12)

(13)

其中

对式(13)两端同时k2次方, 并利用Young不等式, 得

(14)

其中k2定义如式(6). 由min{s+m,s+q}≤k2≤max{s+m,s+q}并结合式(12),(14), 有

其中C2定义如式(7).

其中: 当t∈[T2,+∞)时, ‖u‖s+1=0;T2定义如式(8).

定理2假设0

则当初值u0充分小或源项系数λ充分小时, 问题(1)的非负弱解在有限时刻熄灭.

证明: 首先考虑p≤1情形.

1) 当(N-4)/N

(15)

利用Hölder不等式, 有

(16)

利用式(11),(16), 有

选取η1, 使得4m/(m+1)2-βη1/C(η1)>0, 则

因此

(18)

2) 当0(N-2-Nm)/2≥1)并分部积分, 有

(19)

利用Hölder不等式, 有

(20)

由式(14),(19),(20)有

选取η1, 使得4m/(m+1)2-βη1/C(η1)>0, 则

(22)

由引理1有如下衰退估计:

其次, 考虑p>1情形. 由于kφ1(x)是问题(1)的上解, 其中:φ1(x)是定理1中给定的特征函数;k是充分小的常数, 则式(15),(19)分别化为

(22)

(24)

类似上面的讨论, 同理可证问题(1)的解在有限时刻熄灭.

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