王 卓，闫维明，何浩祥

（1.国家开放大学工学院 北京，100039）（2.北京工业大学工程抗震与结构诊治北京市重点实验室 北京，100124）

引 言

循环周期结构是由相同或相似的子结构沿周向排列而形成的对称或近似对称结构，土木工程中的空间网壳结构在构成上也具有循环周期结构的特征。在循环周期结构的工程设计中，通常假定结构具有理想化的规则性，但是由于制造或建造误差、材料缺陷和结构损伤等原因，实际结构总会与理想结构之间存在一定的偏差（称之为失谐或失调），致使理想的循环周期结构各个子结构间的谐调性遭到破坏，从而形成失谐结构。失谐会对循环周期结构的动力学特性产生很大影响，使得失谐前、后结构的振动特征表现出本质区别，主要的体现就是引起结构发生模态局部化。循环周期结构的模态局部化现象表现为两层含义和特征：a.结构物理参数（质量或刚度）的小量变化引起某些结构振型发生较大变化；b.发生较大变化的振型其振动主要局限于结构的局部区域。

模态局部化的两层含义和特征对网壳结构的抗震计算和损伤识别将产生较大影响。在抗震计算方面，由于网壳结构具有密集模态的特点，往往前数十阶振型都可能对其地震反应有贡献，而模态局部化会使密集模态的振型向量产生较大变化和局部化。因此，在网壳结构抗震计算中应考虑可能的结构缺陷所引起的模态局部化，使计算结果能够正确反映实际结构在地震作用下的状态，避免因局部振动幅度过大而导致的结构破坏。损伤识别方面，网壳结构的轻微损伤或局部缺陷可视为结构刚度的小量变化。由于模态局部化现象的存在，这样的小量变化可使结构模态振型产生较大变化和局部化。如果这种变化和局部化的规律能够被很好地掌握和利用，那么模态局部化现象将为网壳结构的损伤识别提供一条有效途径。可见，网壳结构模态局部化现象具有重要的研究意义和潜在的应用价值。

模态局部化现象最早是由 Anderson等［1－2］在固体物理研究中发现的。文献［3－5］做了大量研究工作，将模态局部化的研究推广到了结构振动领域。20世纪90年代初，我国开始了结构振动模态局部化研究，主要集中在力学、机械和航空航天领域针对模态局部化现象和特征的理论分析［6－9］。近年来，学者开始关注模态局部化现象，如针对叶盘结构进行的模态局部化试验研究［10－11］，开始在结构设计和振动控制设计中考虑和应用模态局部化现象。杨智春等［12－13］通过研究失调参数对模态局部化的影响以及对模态局部化判据的研究，为飞机T尾结构的模态局部化分析与设计提供了依据。孟继纲等［14］研究了铵盐结晶在叶轮流道内非均匀分布形成的失谐所导致的离心压缩机闭式叶轮的模态和振动局部化现象，通过分析失谐叶轮的振动局部化因子对失谐程度进行了量化评价。向建华等［15］在研究内燃机薄板箱体结构振动的阻尼控制中，采用基于模态局部化的阻尼层布局方法，控制最大应变能区域，实现阻尼材料布局的优化。刘相秋等［16］进行了弱耦合卫星天线结构振动的主动控制研究，指出结构失谐时的振动模态局部化现象对控制效果影响很大，必须在振动控制设计时予以考虑。

笔者对平面网格结构的模态局部化现象进行了算例分析［17－18］，利用矩阵摄动法分析了其发生机理，指出模态局部化现象发生的内在因素是结构频率的密集分布，外在因素是结构物理参数的微小变化。然而，这些研究结论的取得仅停留在数值和理论分析阶段，且局限于研究模态局部化的第1层含义；因此，有必要针对空间网壳结构开展模态局部化现象的试验检验，并同时关注模态局部化现象的两层含义和特征，即模态振型的变化程度和局部化程度。

1 模态局部化的定量描述

由于模态局部化现象具有两层含义和特征，因此需要从两个方面对其进行定量描述。笔者使用振型相关系数（mode correlation factor，简称为FMC）来定量描述模态振型的变化程度，使用振型局部化系数（mode localization factor，简称为FML）来定量描述模态振型的局部化程度。这两个系数的计算公式为

其中：i和j为模态阶次。

由式（1）可见，该系数在数学上表示两个同维向量之间夹角余弦值的平方，其值域区间为［0，1］，在这里用于描述两阶振型向量间的相似程度。两振型向量之间的差别越小，相关系数越大；反之，相关系数越小。

其中：N为结构自由度数目；r为具有最大振型分量的自 由 度 编 号；φ（i）max为第i阶模态的振型分量最大值。

该系数描述局部振动最大位置的振幅与其他位置平均振幅之间的相对差异。一般来说，该系数越大表明振型局部化程度越严重。进一步可以定义振型局部化系数的变化量ΔF（i）ML，用于比较不同失谐条件下振型局部化程度的变化情况。

2 试验描述

目前，关于模态局部化现象的研究大多停留在理论和数值分析阶段，主要以基于有限元的理论模态分析法为工具。由于该现象对结构物理参数的小量变化非常敏感，有限元建模的几何尺寸误差及建模过程中对结构物理参数的相关假定会对模态局部化现象的变化规律产生很大影响，因此有必要通过真实的物理试验来研究模态局部化现象，为模态局部化现象的工程应用提供支持。笔者以准确度最高的试验模态分析法作为工具，进行网壳结构模态局部化现象的试验检验。

2.1 试验模型

试验模型为一个缩尺的凯维特型单层球面网壳，跨度为3m，矢高为0.5m，矢跨比为1／6。模型总计37个节点、90根杆件，杆件规格均为Φ16×1。考虑到模型结构与原型结构之间的质量相似关系，对除最外环节点以外的节点采用直径为160mm（D160）的实心钢球，每个质量约为16.5kg。杆件与节点采用焊接连接，并将最外环节点焊接在槽钢制成的环梁上。试验模型如图1所示。对该网壳模型进行了有限元建模和理论模态分析，发现模型结构前20阶模态的频率值在34～48Hz之间密集地分布，模型结构的模态振型除前几阶外均以竖向振动为主。本次试验主要针对模型结构的竖向振动模态进行识别和分析。

图1 试验模型

2.2 测点布置及测试工况

对试验模型进行节点编号，如图2所示。考虑到结构的对称性，仅在10个节点布置传感器来测量节点的竖向速度响应。传感器位置在图2中用方点标出，传感器选用中国地震局工程力学研究所研制的941B型竖向拾振器（如图3所示），并配接相应的941型放大器。激励方式采用对节点的锤击激励，激励位置任选3个节点，考虑到结构的对称性，分别选择7，18和19号节点作为激励点，激励方向为竖直向下。激励力锤选用扬州科动公司的KDL03型冲击力锤（如图4所示）和尼龙制锤帽，其力频能够保证在800Hz以下基本平直。动态数据采集系统采用北京东方振动与噪声研究所的INV306型盒式采集仪和DASP软件。

图2 模型节点编号及传感器位置

图3 拾振器

图4 力锤

试验考虑4类结构状态，即初始状态、附加节点质量状态、削弱杆件截面状态和复原状态。其中，附加节点质量和削弱杆件截面分别代表网壳结构的质量和刚度发生小量变化。测试工况共计10种，测试工况说明如表1所示。可见，2kg的附加质量仅为一个钢球节点质量的12%，这对于整个结构质量分布的改变是小量的。另外，整体结构共有90根杆件，将其中一根杆件的截面削弱，对于结构整体刚度的改变也是小量的。

表1 测试工况说明

2.3 试验过程

对工况1进行力锤瞬态激振测试，激励位置分别为7，18和19号节点，方向为竖直向下。进行多次锤击，采集网壳节点的速度响应。将2kg的铁块通过强磁铁分别吸附在1，3，10和11号节点上（如图5所示），进行与工况1同样的测试。撤去附加质量块，进行有关杆件的切割和焊接，完成工况6，7，8和9的测试，测试内容与工况1相同。通过焊接恢复所切割杆件的截面，进行工况10的测试。图6为某杆件跨中截面被切断50%的照片。

图5 附加节点质量工况

图6 削弱杆件截面工况

3 试验数据处理与结果分析

3.1 结构初始状态（工况1）

图7为结构初始状态（工况1）7号节点激励下的部分测点响应。采用复模态指示函数法对全部测点的冲击响应进行分析，识别模型结构的频率和振型。分析过程采用对多次锤击响应的频域平均技术，以抑制测试信号中可能存在的噪声干扰。经复模态指示函数法识别，得到3个节点激励下的第1阶奇异值图，发现结构模态频率主要集中在34～48 Hz（如图8所示），与理论模态分析的结果吻合。从奇异值图中可以发现，不同的节点激励下参与结构动力响应的模态不相同。7号节点激励下频率为47.59Hz的模态主要参与结构振动，18号节点激励下频率为36.47Hz和47.59Hz的模态主要参与结构振动，19号节点激励下频率为44.66Hz的模态主要参与结构振动。由于振动信号中参与程度强的模态信噪比高，容易被准确地识别，因此利用这3组激励响应分别对频率为47.59Hz，36.47Hz和44.66Hz的模态振型进行识别，并依次编为1，2，3号，识别结果如表2所示。

图7 7号节点激励下工况1的结构响应

图8 不同节点激励下工况1的第1阶奇异值图

表2 工况1的模态测试结果

3.2 结构其他状态（工况2～10）

采用与工况1相同的信号处理方法，使用7号节点激励下的结构响应对工况2～10的1号模态的频率和振型进行识别。计算振型相关系数和局部化系数，结果如表3所示。同样地，分别使用18号和19号节点激励下的结构响应，对工况2～10的2号和3号模态的频率和振型进行识别，分别计算振型相关系数和局部化系数。综合3个模态的频率、振型相关系数和局部化系数的识别和计算结果如表4～6所示。

表3 不同工况下1号模态的比较

表4 不同工况下的模态频率Hz

表5 不同工况对工况1的振型相关系数

表6 不同工况的振型局部化系数及其对工况1的变化量

由表4可见，附加节点质量和削弱杆件截面对这3个模态的频率改变都是较小的，最大的改变量为0.53Hz（工况7的3号模态），并且结构复原后（工况10）3个模态的频率基本上回到了工况1时的频率。这证明试验测量和数据处理过程中的误差很小，试验结果可靠。

由表5可见，有些工况的振型相关系数偏小（如工况2的1号模态、工况7的2号、3号模态和工况4的3号模态），说明结构物理参数的小量变化（附加节点质量和削弱杆件截面）导致某些模态的振型发生了较大改变，证明模态局部化现象的第1层含义和特征是存在的。从工况10的振型相关系数可见，结构复原后3个模态的振型基本恢复到初始状态振型。这既证实了导致模态局部化现象发生的外因是物理参数的小量变化，同时又证明了试验测量和分析结果的可靠性。

分析表6数据可知：a.由于结构初始状态存在失谐因素，故该状态下的模态振型存在一定程度的局部化，且不同的模态其局部化程度不同；b.与初始状态比较，不同结构状态，振型局部化系数的变化量不同，局部化程度可能加重也可能减轻，结构复原后，振型局部化系数基本回到初始状态对应的数值；c.振型局部化系数对结构物理参数变化的敏感性高于振型相关系数；d.振型局部化系数和振型相关系数各自的变化规律不同，但是振型局部化程度变化大的工况，其振型变化程度都较大。例如：工况2的1号、2号模态；工况3的3号模态；工况7的1号、2号模态。

4 结束语

通过一个凯维特型单层球面网壳结构的缩尺模型试验，对网壳结构模态局部化现象进行了试验检验。试验中构造了8种物理参数发生改变的工况，对各个工况下的结构进行了模态测试，随机测取了3个结构模态，对各工况下这3个结构模态的振型变化和局部化情况进行了分析。结果表明：a.结构初始状态存在一定程度的模态局部化，与初始状态比较，结构物理参数改变后，振型局部化程度或加重或减轻；b.振型局部化系数对结构物理参数变化的敏感性高于振型相关系数；c.振型局部化程度变化大的工况，其振型变化程度都较大。试验研究表明，网壳结构当其物理参数发生小量改变时可能引起比较明显的模态局部化现象。该现象的存在将对网壳结构在地震等作用下的动力反应有较大的影响，也可以利用这一现象对结构损伤进行识别。

［1］ Anderson P W.Absence of diffusion in certain random lattices［J］.Physical Review，1958，109（3）：1492－1505.

［2］ Anderson P W，Mott N.Nobel lecture in physics for 1977［J］.Review of Modern Physics，1978，50（2）：191－208.

［3］ Hodges C H.Confinement of vibration by structure irregularity［J］.Journal of Sound and Vibration，1982，82（3）：411－424.

［4］ Pierre C，Dowell E H.Localization of vibration by structural irregularity［J］.Journal of Sound and Vibration，1987，114（3）：549－564.

［5］ Bendiksen O O.Mode localization phenomena in large space structures［J］.American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal，1987，25（9）：1241－1248.

［6］ 罗惟德，王皓.失调结构的模态分析［J］.复旦大学学报：自然科学版，1992，31（3）：318－325.Luo Weide，Wang Hao.Mode analysis for mistuned structures［J］.Journal of Fudan University：Natural Science Edition，1992，31（3）：318－325.（in Chinese）

［7］ 刘济科，赵令诚.结构振动模态局部化评述［J］.振动与冲击，1995，14（4）：1－4.Liu Jike，Zhao Lingcheng.A review of mode localization in structural vibration［J］.Journal of Vibration and Shock，1995，14（4）：1－4.（in Chinese）

［8］ 王建军，李其汉，朱梓根.失谐叶片－轮盘结构系统振动局部化问题的研究进展［J］.力学进展，2000，30（4）：517－528.Wang Jianjun，Li Qihan，Zhu Zigen.Vibratory localization of mistuned bladed disk assemblies［J］.Advanced in Mechanics，2000，30（4）：517－528.（in Chinese）

［9］ 李凤明，汪越胜，黄文虎，等.失谐周期结构中振动局部化问题的研究进展［J］.力学进展，2005，35（4）：498－512.Li Fengming，Wang Yuesheng，Huang Wenhu，et al.Advances of vibration localization in disordered periodic structures［J］.Advanced in Mechanics，2005，35（4）：498－512.（in Chinese）

［10］廖海涛，王建军，王帅，等.失谐叶盘结构振动模态局部化实验［J］.航空动力学报，2011，26（8）：1847－1854.Liao Haitao，Wang Jianjun，Wang Shuai，et al.Experimental investigation of the worst－case mode localization for a mistuned bladed disk assemblies［J］.Journal of Aerospace Power，2011，26（8）：1847－1854.（in Chinese）

［11］赵志彬，贺尔铭，王红建，等.叶盘结构频率转向特征及失谐敏感性实验研究［J］.中国机械工程，2013，24（1）：73－77.Zhao Zhibin，He Erming，Wang Hongjian，et al.Experimental investigation on frequency veering and mistuning sensitivity of bladed disks［J］.China Mechanical Engineering，2013，24（1）：73－77.（in Chinese）

［12］杨智春，杨飞.失调参数对T尾结构振动模态局部化的影响［J］.航空学报，2009，30（12）：2328－2334.Yang Zhichun，Yang Fei.Effect of mistuned parameters on mode localization of T－tail structure［J］.Acta Aeronautica Et Astronautica Sinica，2009，30（12）：2328－2334.（in Chinese）

［13］杨智春，杨飞.T尾结构振动的模态局部化判据研究［J］.力学学报，2010，42（2）：290－298.Yang Zhichun，Yang Fei.Mode localization prediction criterion for T－tail structure［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2010，42（2）：290－298.（in Chinese）

［14］孟继纲，王跃方，杨树华.离心压缩机闭式叶轮晶体黏着失谐动力特性研究［J］.风机技术，2010（3）：7－12.Meng Jigang，Wang Yuefang，Yang Shuhua.Research on dynamic characteristics of mistuned shrouded impeller with salt crystallization in centrifugal compressor［J］.Fan Technology，2010（3）：7－12.（in Chinese）

［15］向建华，廖日东，蒲大宇，等.内燃机薄板箱体部分覆盖阻尼层技术研究［J］.北京理工大学学报，2010，30（2）：149－153.Xiang Jianhua，Liao Ridong，Pu Dayu，et al.A study on partial coating damping layer for thin－wall box of internal combustion engine［J］.Transaction of Beijing Institute of Technology，2010，30（2）：149－153.（in Chinese）

［16］刘相秋，王聪，邹振祝.失谐弱耦合卫星天线结构振动分析及预测控制［J］.力学学报，2009，41（6）：967－973.Liu Xiangqiu，Wang Cong，Zou Zhenzhu.Vibration restrain of disordered weak coupling antenna structure in satellite by applying predictive control method［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2009，41（6）：967－973.（in Chinese）

［17］闫维明，王卓，何浩祥.空间结构模态局部化和跃迁现象及分析［J］.北京工业大学学报，2009，35（12）：1624－1629.Yan Weiming，Wang Zhuo，He Haoxiang.Analysis of mode localization and transition in spatial structures［J］.Journal of Beijing University of Technology，2009，35（12）：1624－1629.（in Chinese）

［18］王卓，闫维明，叶列平.基于模态局部化和跃迁的网壳结构损伤指标［J］.振动、测试与诊断，2010，30（4）：440－445.Wang Zhuo，Yan Weiming，Ye Lieping.Damage characteristic vector of reticulated shell structures based on mode localization and mode transition［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2010，30（4）：440－445.（in Chinese）