杨 勇，张为民，2，赵红朴

（1.同济大学机械工程学院 上海，201804） （2.同济大学中德学院 上海，200092）

引 言

机床滚珠丝杠进给驱动系统中，伺服电机产生的旋转运动通过电机轴、滚珠丝杆和丝杆螺母副，转化为立柱（工作台）的平移运动。一直以来，滚珠丝杠驱动系统的动态特性研究都是国内外机床动态特性研究的重点。研究大致可分为：a.通过不同的建模方法（集中参数模型、有限元模型和混合模型等）构建滚珠丝杠驱动系统的动力学模型，实现不同简化假设与边界条件下系统动态响应与振动特征的影响性研究与优化；b.通过不同的缩聚简化描述方法，实现与伺服控制模型的集成，得到机床驱动系统的综合动态特性［1－6］。从实验角度出发，基于动态实验与振动数据提取，运用不同的数据处理与分析手段，揭示系统动力学性能与内在动态特征属性［7－9］，为滚珠丝杠系统动态特性研究与优化提供基础，不足之处在于未理论验证和说明该动态特征。文献［7］通过建立丝杠－工作台系统的轴向动力学模型，推导并实验验证了系统轴向振动混沌特征。文献［10］在考虑非线性弹性力情况下对滚珠丝杠动态特征进行研究，但文中基于滚珠丝杠为铁木辛克梁的前提条件下，认为丝杠变形前、后横截面与轴线始终保持垂直，且截面弯曲转角和横向振动存在正切关系，直接构建物理方程进行分析，这与铁木辛柯梁的基本假设不符。研究中通常将滚珠丝杠做欧拉－伯努利梁或铁木辛柯梁假设。前者认为梁截面内的横向剪切应变为0，变形前、后截平面均保持平面且垂直于中性轴，模型简单适用于一般的工程计算；后者仍然采用平截面假设，但由于同时考虑了梁的剪切效应，使得其横截面与中心轴不再垂直，针对不同梁引入剪切修正系数得到横向剪切量。

针对滚珠丝杠的特点，其长宽比相对较小，笔者将其简化成铁木辛柯梁。考虑其截面效应和剪切效应，从能量变分原理出发，构建丝杠－工作台系统的动力学模型进行研究，避免了横截面剪切与弯曲综合影响下直接构建物理方程的困难。

1 丝杠－工作台系统动力学建模

滚珠丝杠示意图如图1所示。为计算简单，将丝杠置于二维x－z平面内，只研究丝杠在x－z平面内的振动，沿x－y平面内的横向振动与弯曲可通过类推得到，取丝杠左端为坐标原点，分别定义丝杠在沿x向轴向振动为u，z向横向振动为w，绕x的扭转振动为θ，x－z的弯曲振动为φ，假设滚珠丝杠转动的过程中，定义工作台运动为um，则丝杠轴的空间运动可用向量a＝［u，w，θ，φ］表示。

依据铁木辛柯梁相关理论可知，由于剪切效应的影响，与梁中心线相切的的线段同时发生角度偏转β，因此弯曲变形与剪切变形作用下z向总变形量w为

其中：wφ为弯曲变形引起的z向变形量；wβ为剪切变形引起的z向变形量。

图1 滚珠丝杠示意图

对式（1）求导可得丝杠轴截面的总转角γ为

由于丝杠沿z向的横向振动使丝杠轴线变为x－z平面内的一条弧线，如图1所示，因此丝杠轴的横向振动引起的在x向的位移xz表示为该弧长投影与变形前长度之差

剪切效应与弯曲效应同时作用下的丝杠轴x向位移u为

丝杠轴x向应变ξ为

根据式（5）得到丝杠横截面受到的弯矩为

其中：E为材料的弹性模量；Iφ为丝杠轴横截面绕y轴的惯性矩。

根据式（5），（7），（8）得到丝杠 －工作台系统的轴向势能为

其中：A为丝杠轴的横截面积。

同理可得丝杠轴的剪切势能Uw、扭转势能Uθ和弯曲势能Uφ分别为

其中：κ为剪切修正系数；G为材料的切边模量；Iθ为丝杠横截面绕x轴的惯性矩。

滚珠丝杠应变总势能Ua

根据达朗贝尔原理，将滚珠丝杠轴向运动过程中的惯性力转化成体力，可得轴向载荷势能Vu为

忽略横向振动引起的轴向位移变化，式（12）可以简化为

同理，得到横向振动载荷势能Vw、扭转载荷势能Vθ和弯曲载荷势能Vφ分别为

假设工作台位于x＝xm处，由工作台运动引起的载荷势能Vm为

其中：工作台质量为m。

滚珠丝杠系统载荷总势能Va为

丝杠－工作台系统的瞬时总势能U为

根据最小势能原理进行瞬时变分，得到

通过式（18）可以得到关于丝杠－工作台系统的动力学偏微分方程组。由于丝杠－工作台系统边界条件的复杂性，该偏微分方程组求解困难甚至不可能得到其解析解。假设丝杠变形为小变形，则丝杠内部的非线性影响具有非相关性，其弹性变形可以通过结构模态综合法得到［11－12］。考虑到时空离散求解的复杂性及使用局限性，采用空间离散模态综合法，在时刻t时丝杠的变形向量a可以表示为

分析式（20）～（24）可以看出：丝杠的横向振动方程中具有高次非线性项，使得其振动呈现为非线性运动特征；丝杠各向振动之间存在着相互耦合因素，如丝杠的轴向振动受到横向振动的影响，丝杠的横向振动与弯曲振动的相互耦合影响。令

式（24）最终可以化简为无阻尼受迫振动达芬方程的标准形式［7，13］

可以看出，丝杠的横向振动表现为受迫达芬方程的混沌运动形式，其一次项系数中包含时变系数a（定常载荷作用下，忽略横向运动对轴向运动的影响，可近似认为是常数）。受迫激励来自弯曲振动的耦合影响，产生的原因是由于铁木辛柯梁假设下梁的剪切变形所引起的。根据混沌的相关理论［13］可知，由截面效应与剪切效应共同作用而引起的受迫激励及达芬方程系数参量值的变化将会使丝杠混沌运动性质不同于以往滚珠丝杠系统非线性振动方程［10］描述的运动特性。假设函数d（t）为时间的简谐函数，则F（t）可记作F0cos（ωt），F0为振动幅值，取ω＝ω0＝1，ε＝0.05，F0＝7，得到d′－d相平面轨迹图，如图2所示。可以看出，其混沌运动的相轨迹曲线没有发散，而是被局限在一个有限区域内运动且曲线不封闭，即为非周期运动。

图2 d′－d相平面上的轨迹

2 滚珠丝杠动态特性实验的主分量分析

吴沁等［10］通过工作台振动的加速度信号频谱分析进行动态特性混沌特征验证，但谱分析只能确定振动是否随机，无法确定该随机振动来自于随机扰动还是确定性系统的内禀随机性，因而无法区分混沌振动和随机振动［7］。王林鸿等［7－9］通过功率谱、相平面轨迹、关联维数和最大李雅普诺夫指数等特征量揭示了滚珠丝杠的混沌特征。笔者采用主分量分 析 方 法 （principal component analysis，简 称PCA）［14，15］对滚珠丝杠振动混沌特征进行辨识，该方法是近年来提出的可以有效区分混沌与噪声的方法，能够达到系统动态特征性识别的目的。PCA分析的基础为相空间重构，该思想由 Packard［16，17］提出，主要包括导数重构法与延迟重构法，前者虽然物理意义明确，但易受噪声干扰且坐标尺度差异大，从而使用受到限制。目前常用延迟重构法［13，14，18］。针对某一时间序列u（tj），j＝1，2，…，N，通过选择合适的时间延迟τ与相空间维数m，构造如式（27）所示的相空间

该相空间为M×m矩阵，且M＝N－（m－1）τ，将该相空间矩阵的协方差矩阵的特征值λi与特征向量φi称之为主分量。将特征值按降序排列后，以序号i为横坐标为纵坐标得到的图为主分量谱图。噪声信号和混沌的主要区别在于，噪声信号的主分量谱图为横坐标近似平行的直线，混沌的主分量谱图为斜率为负的过定点直线［14］。

针对沈阳机床厂生产的某型号数控机床进行动态特性实验，工作台的往复运行速度为300cm／min，三向加速度传感器的采样频率为2.56kHz。工作台振动的加速度信号频谱分析如图3～5所示（传感器安装在工作台底部靠近丝杠－螺母接触副部分）。

图3 x方向的加速度谱分析

图4 y方向的加速度谱分析

图5 z方向的加速度谱分析

周期运动或准周期运动的谱分析图一般具有一个或者多个突出的谐波成分［13］。图3～5中，加速度谱成分较为复杂，在较宽的频带内具有明显的连续谱，这符合混沌运动的谱分析特征。取相空间维数为8，对工作台位移振动信号进行相空间重构。取相空间矩阵的前3列作相空间轨迹图，如图6，8，10所示。可以看出，其相空间轨迹为非封闭曲线，且在有限区域内作往复非周期运动，符合混沌运动的相空间轨迹特点。图7，9，11为各向主分量谱图。可以看出，其均为斜率为负的过定点直线，均符合混沌运动的主分量谱图特点。通过动态特性实验，对滚珠丝杠的动态特性的混沌特征进行了验证，说明了滚珠丝杠动力学模型及其特征描述的正确性。

图6 x方向相空间轨迹

图7 x方向主分量谱图

图8 y方向相空间轨迹

图9 y方向主分量谱图

图10 z方向相空间轨迹

图11 z方向主分量谱图

3 结 论

1）基于铁木辛柯梁假设，综合考虑丝杠剪切与弯曲效应，建立其丝杠－工作台系统的动力学模型。分析得出：各向振动之间存在着非线性耦合因素；且横向振动表现为受迫达芬方程的混沌运动形式，受迫激励来自于弯曲振动的耦合影响，其产生的原因是由于铁木辛柯梁假设下梁的剪切变形所引起。根据混沌理论可知，由截面效应与剪切效应共同作用而引起的受迫激励及达芬方程系数参量值的变化将会使丝杠混沌运动性质不同于以往滚珠丝杠系统非线性振动描述的运动特性。

2）通过动态特性实验，运用主分量分析法，验证了滚珠丝杠动力学模型及其特征描述的正确性。

3）通过建立的丝杠受迫振动达芬方程，借助于相关非线性理论实现系统稳定性分析，为机床振动控制与动态特性研究提供了重要基础。

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