樊尚春，陈 晨，邢维巍

（北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院 北京，100191）

引 言

谐振器的激励检测问题是实现高性能谐振式传感器的关键问题之一。静电激励／电容检测方式是目前的典型技术，相对于双端口激励检测方式［1］，单端口静电激励／电容检测方式［2］合并激励和检测电极，简化了结构，既方便加工，又使电容的有效面积达到最大，同时解决了激励信号与检测信号间的耦合干扰问题。基于频域分离法的单端口静电激励／电容检测方式其本质是直接以激励电压信号充当载波信号，它被动态电容信号调制而产生的电流信号包含振动信号。根据激励电压的不同分为交流电压激励及带直流偏置的交流电压激励 （混合电压激励）。两者的区别在于前者产生倍频激励力（均相对于激励电压频率而言），后者产生同频激励力，最终输出电流的频率组成成分有所区别。检测谐振器的输出信号时，前者测电流中的三倍频成分，后者测电流中的二倍频成分。在一定的条件下，检测的电流谐波其幅度与谐振梁振动幅度成正比，可用来求取谐振频率及品质因数Q。检测的电流谐波与振动位移同相位，可用在锁相闭环中跟踪谐振频率。目前，文献中对于频域分离的单端口静电激励／电容检测方法的研究，大多假设谐振子处于线性振动状态，且在推导过程中进行了大量近似，最终得到包含少量频率成分的输出电流表达式［3］。为了给电路设计提供可靠依据，有必要明确检测信号中包含的各种谐波。同时，国内外学者对谐振器的非线性动力学行为进行了大量研究［4－8］。

笔者在交流电压激励和带直流偏置的交流电压激励两种情况下，分别建立了考虑几何非线性和静电非线性［9］的谐振器动力学方程。采用模态截断的方法得到各自的单自由度系统，这些单自由度系统都通过复杂的二阶非线性常微分方程进行描述。采用Runge－Kutta法求常微分方程，由得到的位移和速度数据求解出离散的电流值，再对电流值进行快速傅里叶变换（FFT）处理，求出电流的谐波成分以及相应的幅值。

1 谐振器运动方程建模

笔者研究一种基于平行板电容的谐振器，如图1所示。谐振器分为可动部分（即双端固支的谐振梁）以及不可动的底板，谐振梁的长、宽、厚分别为l，b，h，极板间距为d。

考虑几何非线性，谐振梁的振动微分方程［4］为

图1 电场激励下的谐振器简图

边界条件为

代入式（1），（2）得到无量纲化后的动力学方程为

无量纲边界条件为

2 动力学方程求解

采用分离变量法求解建立的动力学方程。令式（3）解的形式为

其中：φi（）为无量纲后动力学方程线性无阻尼部分的第i阶模态，即为满足微分方程（6）及边界条件（7）的解。

式（6）具有通解

其中：

代入边界条件得到

其中：

利用得到的线性模态及模态间满足的正交性，将式（3）进行空间离散［5］。将式（5）代入式（3），在方程两端同时乘以φn）（1－）2，并对变量在（0，1）上进行积分，整理得到离散的动力学方程式，即式（12），其中n＝1，2，…，M。式（12）实际上为M 个非线性常微分方程组成的方程组，M的取值根据计算精度和收敛性来确定。工作在第1阶固有频率附近的谐振器，如果各阶固有频率相差很远，取M 为很小的整数即可保证计算精度和收敛速度。当给定初始条件，式（12）可以采用数值求解的方法计算。如果M值取1或2，式（12）也可以通过摄动法、谐波平衡法和多重尺度法等解析方法进行求解。

3 谐振器振动产生的电流

当谐振器第1、第2阶固有频率间隔较大时，为简便计算，可采用传统Galerkin模态截断法只截取第1阶模态对谐振器动力学方程进行求解。

令M＝1，式（12）可写为

式（13）为非线性二阶常微分方程，解析求解繁杂，无法得到形式简单明了的电流表达式，不利于分析其谐波组成。于是在此采用Runge－Kutta法数值求解。

求解出u1后，得到谐振梁各部分随时间变化的位移（，）。可动板和底板间的电容为

谐振器的输出电流为（忽略高于u21的三阶小量）

当取定初始值后，根据式（13）数值解出u1以及˙u1，在u1达到稳态后取数据点列，设采样频率为Fs，采样点数为 N，取位移点列｛u1（1），u1（2），…，u1（N）｝。相应地，取点列u1中各点对应的速度组成一个速度点列为｛˙u1（1），˙u1（2），…，˙u1（N）｝。以时间点列｛1，2，…，N｝分别对函数sin（1）和cos（1）进行离散，得到另外两个点列。将以上4个点列代入式（16），得到函数i1（）的一个采样数据列I1＝｛i（1），i（2），…，i（N）｝，对I1进行FFT变换得到复数数列FI1，即FI1＝fft（I1）。令，其中，j为单位虚数符号。忽略FI1中模接近零的数据，得到点列｛aλ1＋j bλ1，aλ2＋j bλ2，…，aλΥ＋j bλΥ｝，其中，aλk＋j bλk对应 FI1中第Λk个点。得到电流i1（）主要谐波成分为其中，。当有直流成分时，不存在直流成分时

当激励电压只含交流部分时，同样可以得到只考虑一阶模态时动力学方程空间离散后的常微分方程（为了区别，将u1记为U1）

数值求解出U1后可以得到谐振器振动产生的电流为

采用类似于混合电压激励的情况分析i2（）的谐波成分。

4 算 例

以文献［6］中的谐振器为例进行计算。谐振器尺寸、材料参数以及无量纲初始轴向力如表1所示。将参数代入式（10），求解可得谐振器的无量纲固有频率。前3阶无量纲固有频率为1＝24.63，2＝64.83，3＝124.40。谐振器工作在第1阶固有频率时，由于1和2间隔比较大，故采用传统Galerkin模态截断法。

表1 谐振器参数

求得归一化第1阶模态如图2所示。取初始位移和初始速度均为0，Vdc＝1V，Vac1＝Vac2＝0.1V，ac1＝24.63，ac2＝24.63／2，分别计算得到两种激励下的振动位移，即式（13）和式（17）的解，如图3，4所示。从振动的幅频特性可以看出：谐振梁在混合电压激励下的稳态周期运动可以分解为静态位移、一倍频谐波分量及二倍频谐波分量；交流电压激励下的稳态周期运动可以分解为静态位移和二倍频谐波分量。

图2 谐振器归一化第1阶模态

在得到谐振器振动响应的基础上，由式（16），（18）求得两种激励下输出电流i1（）和i2（）的离散点列，对i1（）和i2（）进行FFT，得到电流幅频特性。不同激励电压下的电流幅频特性如图5和图6所示。分析可知：a.当非线性影响较小时，谐振器振动包含一个或两个主要的谐波成分，此时在混合电压激励下，谐振器的输出电流主要包含一、二及三倍频谐波；在交流电压激励下，谐振器的输出电流主要包含一倍和三倍频谐波；b.同一激励方式下，增大交流电压的幅值可以提高谐波的幅值。

图3 混合电压激励下谐振器的振动响应（Vdc＝1V，Vac1＝0.1V，ac1＝24.63）

混合电压激励下电流的二倍频谐波由以下3个部分组成：a.激励电压的交流部分与一倍频振动作用的和频部分；b.激励电压的直流部分与二倍频振动作用；c.激励电压的交流部分与三倍频振动作用的差频部分。其中，a为有用信号，由于三倍频振动相对于一倍频振动很小，因此c相对于a忽略；又由于混合电压激励时Vdc相对于Vac1较大，因此有必要考察b相对于a是否可以忽略。

以Vdc＝1V，Vac1＝0.2V的混合电压激励为例，求取电流时电压只取交流部分，得到的输出电流幅频特性如图7所示。图7中的二倍频谐波仅包含a（忽略c）。与图5（b）对比可知，b，c对电流二倍频谐波的贡献比约为1.25。这使得输出电流的二倍频谐波中同时包含了谐振梁一阶振动和二阶振动的信息。虽然电流二倍频谐波幅值最大值处的频率仍与谐振梁的一阶固有频率对应，但开环测试时将无法从开环特性曲线获取谐振器的Q值。由于电流二倍频谐波的相位同时取决于谐振梁一阶振动和二阶振动的相位，不利于锁相闭环的实现。交流电压激励下电流的三倍频谐波由激励电压与二倍频振动作用的和频部分及激励电压与四倍频振动作用的差频部分两部分组成，而后者相对于前者可以忽略。综上所述，基于频域分离法的单端口静电激励／电容检测方式采用交流电压激励更合理。

图4 交流激励下谐振器的振动响应（Vac2＝0.1V，ac2＝24.63／2）

图5 不同混合电压激励下谐振器输出电流的幅频特性（ac1＝24.63）

图6 不同交流电压激励下谐振器输出电流的幅频特性（ac2＝24.63／2）

图7 无直流调制时混合电压激励下谐振器输出电流的幅频特性图（Vdc＝1V，Vac1＝0.2V，ac1＝24.63）

提高交流激励的电压幅值到Vac2＝1.3V，输出电流的幅频特性如图8所示。由于非线性影响的增大，振动出现更高阶的谐波，电流中的谐波分量也随之增多，包含1，3，5，7倍频成分。

提高交流激励的电压幅值到Vac2＝1.5V，谐振梁出现触板（Pull－in）现象［6，10］，无法正常工作。

图8 交流电压激励下谐振器输出电流的幅频特性图（Vac2＝1.3V，ac2＝24.63／2）

5 结 论

1）混合电压激励下，直流偏置电压的存在使得输出电流的二倍频谐波中同时包含了谐振梁一阶振动和二阶振动的信息，不利于Q值的获取及锁相闭环的实现。相比之下，交流电压激励更适合于基于频域分离法的单端口静电激励／电容检测方式。

2）谐振器在工作时，应选择合适的激励电压，既要使激励电压足够大以利于信号检测，又要考虑非线性使输出电流中出现无用谐波成分而干扰检测，同时应避免触板现象和频率响应曲线多值现象［11－12］的发生。由此引发的激励电压的选择问题是后续的研究问题之一。

3）利用本研究的谐波分析方法，同时可用数值法算出静电谐振器的谐振频率、触板电压（Pull－in voltage）、静态电容和动态电容等设计谐振器尺寸时必须考虑的参数，简化了谐振器几何参数设计的计算，提高了设计效率。

4）在选定的激励电压下，电流谐波成分的分析结果可以指导电路的设计。

5）检测单端口静电激励／电容检测谐振器的有用输出电流可以采用锁定放大。利用锁定放大器（lock－in amplifier，简称 LIA）天然为极窄带带通滤波器且中心频率由参考频率决定的特点，提取输出电流中特定的谐波分量。由算例的分析结果可知，在微结构谐振器中，由于结构尺寸小，输出电流在nA量级，输入干扰相对于有用信号较强。为避免饱和，信号通道的交流放大应选用较低增益，模拟鉴相时为避免鉴相器的直流漂移必须采用开关鉴相器，此时存在谐波干扰问题。交流电压激励下检测电流的三倍频谐波时，作为参考信号的方波信号其基频应为三倍频，其含有的奇次高次谐波为9，15，21等倍频谐波，电流中的谐波为1，3，5，7，9，11等倍频谐波。当电流中九倍频谐波较大时，在LIA的信号通道中应进行适当的滤波。

［1］ Howe R T，Muller R S.Resonant－microbridge vapor sensor［J］.IEEE Transactions on Electron Devices，1986，33（4）：499－506.

［2］ Putty M W，Chang S C，Howe R T，et al.One－port active polysilicon resonant microstructure［C］∥ Proceeding IEEE Micro Electro Mechanical Systems.Salt Lake City，Utah：［s.n.］，1989：60－65.

［3］ Ghavanini F A，Rödjegård H，Enoksson P.An easyto－implement method for evaluation of capacitive resonant sensors［J］.Journal of Micromechanics and Microengineering，2006，16：156－160.

［4］ 宋敉淘.应用非线性Galerkin方法求解微梁的非线性动态响应［D］.哈尔滨：哈尔滨工业大学，2007.

［5］ Younis M I，Abdel－Rahman E M，Nayfeh A H.A reduced－order model for electrically actuated microbeambased MEMS［J］.Journal of Microelectromechanical Systems，2003，12（5）：153－163.

［6］ Nayfeh A H，Younis M I，Abdel－Rahman E M.Dynamic pull－in phenomenon in MEMS resonators ［J］.Nonlinear Dynamics，2007，48（1－2）：153－163.

［7］ Younis M I，Nayfeh A H.A study of the nonlinear response of a resonant microbeam to an electric actuation［J］.Nonlinear Dynamics，2003，31（1）：91－117.

［8］ Nayfeh A H，Younis M I，Abdel－Rahman E M.Reduced－order models for MEMS applications［J］.Nonlinear Dynamics，2005，41（1－3）：211－236.

［9］ 洪连进，陈洪娟.电容式硅微结构加速度计动态特性的研究［J］.振动、测试与诊断，2003，23（3）：220－223.Hong Lianjing，Chen Hongjuan.A method for the test of dynamic characteristics of capacitance silicon microstructure accelerometers［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2003，23（3）：220－223.（in Chinese）

［10］Alsaleem F M，Younis M I，Ruzziconi L.An experimental and theoretical investigation of dynamic pull－in in MEMS resonators actuated electrostatically［J］.Journal of Microelectromechanical Systems，2010，19（4）：794－806.

［11］Alsaleem F M，Younis M I，Ouakad H M.On the nonlinear resonances and dynamic pull－in of electrostatically actuated resonators［J］.Journal of Micromechanics and Microengineering，2009，19（4）：1－14.

［12］Gui C，Legtenberg R，Tilmans H A C，et al.Nonlinearity and hysteresis of resonant strain gauges［J］.Journal of Microelectromechanical Systems，1998，7（1）：122－127.