吴事难，张金龙，丁士东，刘 建

（1.中国石油大学（北京）石油工程学院，北京102249；2.胜利石油管理局海洋钻井公司，山东东营257051；3.中国石化石油工程技术研究院，北京100101）

泡沫水泥浆是在常规水泥浆中充入氮气或空气，通过添加发泡剂和稳泡剂形成稳定的泡沫，形成一种低密度水泥浆[1］。泡沫水泥浆具有可压缩、密度低、强度高、低导热性和一定弹塑性等特点，广泛应用于低压易漏失井和防气窜固井中[2-4］。由于泡沫水泥浆中含有大量可压缩性泡沫，因此，低密度泡沫水泥浆密度受温度和压力的影响较大[5］，如何准确计算井下低密度泡沫水泥浆的真实密度是应用低密度泡沫水泥浆固井的前提。

20世纪90年代，A.L.Martins等[6］基于真实气体方程和泡沫质量分数确定泡沫水泥浆密度的方程，建立了计算任意井深处泡沫水泥浆密度的模型，利用该模型可以计算恒定注气量下任意深度泡沫水泥浆静液柱压力。此后，H.Gareia Jr.等[7］以A.L.Martins等的泡沫水泥浆密度计算模型为基础，采用微元体分析的方法，建立了考虑井筒摩擦阻力的泡沫水泥浆密度计算模型。卞先孟[8］、朱礼平[9］等人也先后对低密度泡沫水泥浆的密度模型进行了研究。但是，前人所建立的模型大都是基于模拟试验求取相关系数，没有考虑气体分散相与液体连续相在受压之后相互之间的作用，以及泡沫水泥浆是否带压混配对泡沫的影响。为此，笔者着重分析了温度和压力对低密度泡沫水泥浆的影响规律。

分散在泡沫水泥浆中的泡沫会随着压力和温度的变化而发生变化，但由于液态连续相的存在，泡沫尺寸受压力和温度的影响并不能完全体现理想气体的特征。在一定温度和压力作用下，泡沫的抗压缩能力远大于单一气相的抗压缩能力[10-13］，气体压缩规律不完全符合真实气体方程。笔者在理论推导基础上，结合试验验证，对推导的数学模型进行了修正，建立了低密度泡沫水泥浆密度在不同井深（压力和温度）处的计算模型。

1 泡沫水泥浆密度计算模型的建立

泡沫水泥浆以液相为连续相，气相为分散相，气相以均匀稳定的泡沫分布在水泥浆中，从而达到降低水泥浆密度的目的。为了计算不同温度、压力条件下的泡沫水泥浆真实密度，做如下假设：

1）泡沫水泥浆中浆体为连续相，气体为分散相，泡沫尺寸一致且均匀分散在水泥浆中，压力可以在低密度泡沫水泥浆和泡沫内各点传递，且各点压力相同；

2）基浆不可压缩，发泡所用的氮气体积与泡沫体积相同；

3）气体质量忽略不计；

4）低密度泡沫水泥浆在升温加压过程中，其内部分散的泡沫性质不受连续相的影响。

由氮气在任意压力、温度条件下的真实气体方程可得：

令：

则：

令泡沫水泥浆基浆的密度为ρb，体积为Vb；配制好的泡沫水泥浆在p0，T0条件下的密度为ρ0，在任意压力、温度条件下密度为ρ。氮气在p0，T0条件下的体积为Vg0，在任意压力、温度条件下的体积为Vg。

设基浆的质量mb＝1g，那么基浆的体积为：

在p0，T0条件下，泡沫水泥浆的密度为：

整理式（5）得：

在任意压力、温度条件下，泡沫水泥浆的密度为：

将式（3）和式（6）代入式（7）得：

在p0，T0条件下，泡沫水泥浆中气体的体积分数为：

整理式（9）得

将式（10）代入式（8），整理得到泡沫低密度水泥浆在任意温度、压力下的密度计算公式为：

式中，ρb为泡沫水泥浆基浆密度，g／cm3；δ（p，T）为泡沫可压缩系数，℃／MPa；α为泡沫体积分数（泡沫和泡沫水泥浆的体积比）。

由式（11）可看出：

1）δ（p，T）随着温度和压力的变化而变化。当温度升高时，δ（p，T）增大，ρ（p，T）变小；当压力增大时δ（p，T）变大，ρ（p，T）增大并且趋近于基浆密度ρb。即密度与压力成正比关系，与温度成反比关系。

2）δ（p，T）为具体时刻的p，V和T 状态系数。

3）泡沫体积分数是反映密度变化的自变量。

该计算公式是基于真实气体方程推导的，而泡沫水泥浆中泡沫的变化规律区别于真实气体，需要进行验证和修正。

2 试验验证

2.1 试验仪器与方法

2.1.1 试验仪器

氮气瓶、OWC-0905型泡沫水泥搅拌装置、常温常压密度计、HPT-0950型高温高压泡沫水泥浆密度测试仪、精密压力源。

2.1.2 试验材料

嘉华G级水泥、自来水、微硅、硅粉、发泡剂、稳泡剂、缓凝剂（DZH-2）、分散剂（DZS）和降失水剂（FSAM 和DZJ-Y）。

2.1.3 试验程序

1）配制密度为1.88g／cm3的基浆，配方为 G级水泥＋35.0%硅粉＋4.5%微硅＋1.0%DZS＋6.0%DZJ-Y＋0.4%DZH-2＋水；

2）将水、发泡剂和稳泡剂按照10∶2∶1的质量比配好，然后与配好的基浆按照88∶1的质量比混合加入到泡沫水泥浆密封搅拌装置中；

3）将搅拌装置密封好，连接氮气气源，在一定压力条件下充入氮气；

4）打开搅拌装置开关，搅拌至泡沫形成后关闭开关；

5）关闭氮气气源阀门，打开低密度泡沫水泥浆发生装置，测量低密度泡沫水泥浆密度；

6）将配制好的低密度泡沫水泥浆倒入到高温高压水泥浆密度测试仪中；

7）设置升温程序，按照一定速度升温至某一设定温度，测量水泥浆密度；控制精密压力源，按照一定速度加压至某一设定压力，测量水泥浆密度；

8）记录测量数据。

2.2 试验结果讨论

2.2.1 温度对泡沫低密度水泥浆密度的影响

图1（a）为常压条件下不同初始密度泡沫水泥浆在不同温度下测得的密度，图1（b）为常压条件下不同初始密度泡沫水泥浆在不同温度下采用式（11）计算出的密度。

图1 温度对低密度泡沫水泥浆密度的影响Fig.1 Effect of temperature on the density of lowdensity foam cement slurry

从图1可以看出，当压力恒定时，低密度泡沫水泥浆的密度受温度影响并不明显，实际测量的密度基本与计算出的密度一致。

2.2.2 压力对泡沫低密度水泥浆密度的影响1）常压配制泡沫水泥浆

为了分析压力对泡沫水泥浆密度的影响，在常压下（0.1MPa）下分别配制初始密度为0.85，0.98，1.10和1.75g／cm3的泡沫水泥浆，利用室内模拟试验装置测量不同初始密度的泡沫水泥浆在不同压力下的密度，结果见图2。同时也给出了利用式（11）计算的不同压力下的密度，结果如图2所示。

从图2可以看出：

1）尽管泡沫水泥浆初始密度不同，但是其密度随压力的变化可以分为3段。当压力小于0.5MPa时，泡沫水泥浆密度随着压力升高增大变化较大，曲线陡峭；当压力大于0.5MPa、小于2.0MPa时，泡沫水泥浆密度随着压力升高而上升，但趋势放缓，曲线弯曲；当压力大于2.0MPa时密度几乎不再发生变化，呈现为水平直线。

2）泡沫水泥浆实测密度和计算密度相差较大，实际密度都较计算密度低，且随泡沫水泥浆密度增大，实测密度与计算密度的差有变大的趋势。

图2 常温、常压条件下发泡，泡沫水泥浆密度与压力的关系Fig.2 Relationship of pressure and foam cement slurry density under the normal temperature and pressure conditions

2）带压配制泡沫水泥浆

泡沫水泥浆在不同初始状态下的稳定性不同，泡沫质量一定时，施加的压力越大，泡沫尺寸越小，泡沫尺寸分布（BSD）越窄，泡沫越密实。为了能获得细密均匀的成膜泡沫，在实验室预发泡时施加一定的压力来配制带压泡沫水泥浆，使泡沫的尺寸变小、泡膜增厚、刚性增强、受力均匀，因此在带压条件下产生的泡沫具备高坚韧性、均匀性、分散性和小孔径性等特点，这些特点对提高水泥石强度有利。实验室在0.4MPa条件下带压发泡，然后将泡沫和水泥浆均匀混合配制成泡沫水泥浆。

图3是初始密度为0.64，1.04，1.15和1.31g／cm3的泡沫水泥浆在常温不同压力下的实测密度和计算密度。

图3 常温、0.4MPa条件下发泡，泡沫水泥浆密度与压力的关系Fig.3 Relationship of pressure and foam cement slurry density at pressure 0.4MPa and atmospheric temperature

从图3可以看出：带压条件下泡沫水泥浆密度随压力的变化规律基本上与常压下的变化规律一致，但密度波动幅度较常压小；带压条件下发泡的泡沫水泥浆实测密度和计算密度的差较常压发泡大。

3 计算模型的修正及应用

3.1 泡沫水泥浆泡沫体积分数与密度差的相关性

泡沫水泥浆实测密度和计算密度的差反映了泡沫水泥浆中泡沫的压缩性质并不完全遵循真实气体的变化规律，需要对模型进行修正。

通过对比分析实验室测得的密度和利用式（11）计算的密度，发现无论是常压还是带压条件下，泡沫水泥浆实测密度和计算密度的差与泡沫水泥浆中泡沫体积分数（α）有很好的相关性，通过数学拟合得到0.4和0.1MPa条件下发泡得到的泡沫水泥浆的泡沫体积分数和实测密度与计算密度差的关系式：

3.2 泡沫水泥浆密度计算模型的修正

根据式（11）、（12）和（13），对泡沫水泥浆密度计算模型进行修正后得：当压力小于2MPa时，泡沫水泥浆密度的计算公式为式（11）；当压力大于2MPa时，泡沫水泥浆密度的计算公式为：

式中：ρgc（p，T）为修正后的密度，g／cm3；ρ0为泡沫水泥浆初始密度，g／cm3；ρ（p，T）为利用式（11）计算的密度，g／cm3，ρc为泡沫水泥浆在2MPa、20 ℃下的密度，g／cm3。

将0.1MPa下发泡初始密度为0.85g／cm3和0.4MPa下发泡初始密度为0.64g／cm3的泡沫水泥浆在2MPa、20℃条件下的密度代入式（14）计算其在不同压力下的密度，并与实测密度对比，结果见图4。

从图4可看出，泡沫水泥浆密度计算模型修正后计算出的密度与实测密度基本相吻合。

图4 泡沫水泥浆密度计算模型修正后的计算密度及实测密度对比Fig.4 Comparison of the calculated density of foam cement slurry by revised theoretical model and the measured density

3.3 任意井深泡沫水泥浆密度及当量密度的算法

在固井过程中恒定注气速度，令井深为H，其中使用泡沫水泥浆固井的井段为H1到H2，低密度泡沫水泥浆在H1处的初始密度为ρ1；以H2处为例，求取H2处水泥浆的密度和压力。令H2处泡沫水泥浆密度为ρ2，计算步骤如下：

1）小于35MPa的天然气压缩因子可以用前人的方法进行计算[14］，求H1处气体压缩因子Z1；

2）利用公式p2＝ρ1gH1＋p1求得H2处的压力p2；

3）利用式（3）求得H1处的δ1和H2处的δ2；

4）将δ1，δ2代入式（11）求得H2处的水泥浆密度为ρ（H2）；

5）求取H1到H2处的平均密度：（压力变化由p到p，温度由T到121T2，带入积分求取平均密度）；

6）返回2）用ρH1-H2替换ρ1进行计算；

7）重复上述步骤，直至相邻两次ρ（H2）之差满足工程精度为止；得H2处低密度泡沫水泥密度ρ（H2）和H1到H2处的平均密度

8）利用上面求出的平均密度，求出H2处的真实压力p2。

4 结 论

1）利用室内模拟试验装置，测量了不同温度、压力条件下泡沫水泥浆的真实密度，并与计算出的密度进行了对比，发现温度对泡沫水泥浆的密度影响较小，压力影响较大。利用拟合方法建立了泡沫水泥浆密度实测和计算密度差与泡沫水泥浆中泡沫体积分数（α）之间的关系。

2）推导了泡沫水泥浆密度与温度、压力的关系方程，并通过试验进行了验证和修正，得出比较精确的、可用于实践的修正模型。

3）泡沫水泥浆以气体作为减轻剂，其传热规律和运动规律相对比较复杂。因此，对注替过程中泡沫水泥浆温度变化规律的研究和运动规律的描述是非常重要的。

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