张兴坊，刘超，张健

(枣庄学院 光电工程学院，山东 枣庄 277160)

0 引言

电偶极子是空间中两个相距很近的等量异号点电荷所组成的带电体系，是电磁场理论中的一个理想物理模型，在电介质极化、天线辐射等方面有着重要应用. 文献中处理电偶极子空间场强问题时，大多仅计算电偶极轴线延长线或中垂线等特殊方向的电场［1］，对于一般方向的场强计算，需将正负点电荷激发的空间场强矢量分解合成后，才得到形式复杂的场解，但结果有时不易理解.为此，文献中常考虑电偶极子的远场解，通过简化，形象直观的展现电偶极子场强的空间分布形式，定性的突出电偶极子的物理概念. 但是，文献中的“远场”概念仅指出是远离电偶极子区域的场，并没有对“远”给予定量的解释，而且简化过程中的高阶小量对实际场的影响程度也较少分析. 本文利用二项式定理对电偶极子空间场强解析解多极展开，分别就展开式中的各次项以及远场解等与空间实际场强的区别进行讨论，并比较了在空间不同角度的场强误差程度.

1 理论模型

电偶极子的理论模型如图1 所示.电偶极子中两个点电荷间的距离为d，坐标原点O置于电荷连线中心处，电偶极轴与z轴重合，P为空间中任意一点，到原点、正负电荷的距离分别为r、r1和r2，θ 为OP与z轴间的夹角，代表了场点在空间中的不同方位.

图1 电偶极子理论模型Fig.1 The theorerical model of electric dipole

空间中场点P的场强解析解表达式为［2］

当d ＜r时，应用二项式公式［3］将(1)式括号中的分母部分分别展开，可得阶数的不同分别表示为零次项，一次项、二次项等.当只取场强多项式

将(2)式和(3)式代入(1)式后，可得一个由多项式表示的场强公式.按照中的前2 项(零次项和一次项)并考虑d ＜＜r时，可得

式中，P = ezqd为电偶极矩.(4)式即为常见的电偶极子远场解形式.一般来说，取的展开式项数越多，所得到的电偶极子场越精确.

2 数值模拟与分析

首先分析电偶极远场解和取场强多项式前2 项时的近似解与实际场解间的差别.图2(a － c)分别给出了场点P在不同角度(θ=0、θ=π/4、θ=π/2)时，利用远场解和场强多项式前2 项得到的场强度与实际场的比值随空间距离的变化情况.由图2(a)可以看出，在d/r =2 时，远场解为实际场强的88%，误差达12%，而利用多项式前2 项得到的近似场强更接近于实际场强，达到92%，存在约8%的误差，并且随着距离(d/r)的增大，两种方式得到的场强逐渐接近实际场强，在d/r =10 时，已基本分辨不出差别.多项式前2项的近似解比远场解大，这是因为，远场解考虑d ＜＜r后，比近似解少了d2/4r(2) 项，但随着距离的增大，两个解之间的差别逐渐减小，当d/r =10 时，都非常接近实际场，在精度要求不高的应用情形时，远离电偶极子10 倍距离的区域已经是“远”距离.而从图2(b)可以看出，偶极远场解比多项式近似解更接近于实际场强，几乎从d/r =2 时就与实际场强无区别，而多项式解在此时却有2%的差别，并且随着距离的增大，在d/r =10时才与实际场差别较小.从图2(c)可以看出，多项式近似解却又更接近于实际场强，从d/r =3 时与实际场强无区别，而偶极远场此时约有10%的差别，并且随着距离的增大，约在d/r =10 时才基本与实际场区分不大.

从图2 可以得出，随着场点角度的不同，利用多项式前2 项得到的近似场和偶极远场解与实际场强的差别也不同.随着角度(0＜θ＜π/2)的增大，前者是先误差大后精确度高，而后者则是先误差大再精确高然后又误差大.但在精度要求不高的情况下，在d/r =10 时，两者得到的场与实际场差别很小.

图2 当场点处于不同角度时，利用电偶极远场形式和场强多项式前2 项得到的场强度与解析解的比值(分别以虚线和实线表示)随距离的演化情况. (a)θ = 0，(b)θ =π/4，(c)θ = π/2Fig.2 The rations of the solutions from far field form and polgnomial form to analytic form (represented by soid and dashed lines)as a funcrin of electrie point distance with the point in different angles (a)θ = 0，(b)θ = π/4，(c)θ = π/2

为了进一步分析多项式的项数对于精确度的影响.图3 给出了在0 角度时，利用多项式前几项得到的近似场强与实际场强的比值随距离的变化.可以看出，取的多项式的项数不同，得到的场强精确度也不同.当取前3 项时，精度反而比前2 项更差，即使在d/r =10 时，仍有5%的区别;但当取前4 项时，精度又提高，即使是在d/r =2 时，精度也已经达到5%，且随着距离的增大，精确迅速提高，在d/r =4 时，已基本与实际场无差别;但当取前5 项时，精度又减小，但与取前3 项得到的近似场误差减小程度相比，此时在d/r =6时，已基本与实际场相当;当取前6 项时，精度又提高，且在d/r =3 时近似等于实际场.由此得出，当取场强多项式的偶数项时，近似场的精度随着项数的增加越来越提高，而取基数项时，得到的近似场精度不高，但随着项数的增多，误差快速减小，基本在d/r =5 时近似场约等于实际场.

图3 在θ = 0 时，取场强多项式不同项数的近似场强随距离的变化Fig.3 The approximate field intensity from the different number of polynomial terms as a function of distances with θ = 0

图4 和图5 分别给出了场点在θ=π/4 和θ=π/2 时，利用多项式前几项得到的场强与实际场强的比值随距离的变化情况.从图4 可看出，与取多项式的基数项相比，取场强多项式的偶数项得到的近似场精度更高.与图3 项比较，均是除了前3 项得到的近似场误差稍外，其它近似场解均随着项数的增加精确越来越高，误差快速减小.由图5 看出，随着多项式的项数的增加，近似场精度单调提高，取前3 项时，在d/r =3 时近似场已约等于实际场，而取前4 项时，在d/r =2 时已看不出实际场与近似场的差别.

图4 在θ = π/4 时，取场强多项式不同项数的近似场强随距离的变化Fig.4 The approximate field intensity from the different number of polynomial terms as a function of distances with θ = π/4

图5 在θ = π/2 时，取场强多项式不同项数的近似场强随距离的变化Fig.5 The approximate field intensity from the different mumber of polynomial terms as a functiom of distances withθ = π/2

3 结论

利用电偶极子空间场强解析式的多极展开，分析了远场解与场强多项式解得到的近似场与实际场的误差程度.表明随着空间场点角度(0＜θ＜π/2)的增加，前者是先误差大再精确高然后再误差大，而后者则是先误差大后精确度高，在精度要求不高的情况下，在d/r =10 时，两者得到的场均与实际场差别很小.而场强多项式项数的增加对空间场强精度的影响却不同，在θ=0 和θ=π/4 时，当取场强多项式的偶数项时，近似场的精度随着项数的增加越来越提高，而取基数项时，得到的近似场精度不高，但随着项数的增多，误差快速减小，基本在d/r =5 时近似场约等于实际场;而当θ=π/2 时，近似场精度随着多项式的项数的增加单调快速提高，在d/r =3 时近似场已约等于实际场.

［1］赵凯华，陈熙谋. 电磁学［M］. 北京:高等教育出版社，2006.

［2］谢处方，饶克谨. 电磁场与电磁波［M］. 北京:高等教育出版社，2011.

［3］同济大学数学系编. 高等数学(上)［M］. 北京:高等教育出版社，2007.