刘秀莲,　张校东

(1.黑龙江科技大学 机械工程学院, 哈尔滨 150022; 2.哈尔滨工程大学 机电工程学院, 哈尔滨 150001)



旋量理论的变胞机构全构态动力学模型

刘秀莲1,2,张校东2

(1.黑龙江科技大学 机械工程学院, 哈尔滨 150022; 2.哈尔滨工程大学 机电工程学院, 哈尔滨 150001)

为丰富和发展机构学理论，通过引入切断铰，将空间串并联机构的运动学分析问题转化为开链机构和局部闭链机构的运动学分析子问题，基于旋量理论建立切断铰空间机构的运动学和动力学模型。采用旋量理论和Kane方法对五杆两自由度闭链变胞机构的广义主动力和广义惯性力进行了计算，并建立切割变胞机构的全构态动力学方程。该方法为变胞机构的动力学建模提供了参考依据。

旋量理论; kane方程; 变胞机构

0　引　言

1998年,戴建生和J Rees Jones基于生物学中的细胞分裂、组合和再生现象，首次提出变胞机构的概念。其定义为在具有多个不同工作阶段的周期中，含有闭环的多自由度运动链呈现不同拓扑结构形式，结合其机架和原动件来实现不同功效的机构。目前,国内外已有大量学者对变胞机构的结构学和运动学[1]进行了研究，基本上形成了比较系统的理论，但对其动力学方面的研究较少。笔者通过建立变胞机构的全构态动力学模型研究其动力学特性，以期为变胞机构的设计与应用提供参考依据。

1　刚体的运动旋量

式中,算子“∧”为反对称矩阵运算,对三维矩阵ω表示叉乘矩阵,即

引入运算因子“∨”,并将其作如下定义

对于空间多刚体系统,其中每一个运动关节都可看成一个空间旋量运动,其运动旋量可表示为θiξi,其中θ是关节变量大小。对于转动关节,运动旋量的旋量坐标ξ可用Plucker坐标形式表示[4]:

式中:ω——运动旋量轴线方向的单位矢量;

r——轴线上任一点的位置矢量;

h——运动旋量的节距大小;

v——沿旋量运动轴线方向的单位矢量。

对于移动关节,运动旋量的旋量坐标ξ可表示为

刚体的运动变换可以用李群代数中的欧氏群SE(3)表示,即

SE(3)={(P,R):P∈R3,R∈SO(3)}=R3×SO(3),

式中:SO(3)——三维旋转群;

P——位移矩阵,实现不同坐标系的坐标平移变换;

R——旋转矩阵,实现不同坐标系的坐标旋转变换。

式中:I——3×3单位阵;

e——自然指数。

若旋量在B坐标系下表示为ξB,则其在A坐标系的表示ξA为

2　串并联机构运动学方程的推导

式中:ωi、vi——旋量运动轴线上的单位矢量, ωi、vi∈R3;

ri——关节轴线上的任意一点坐标,ri∈R3。

选取工具坐标系在固定坐标系下的初始参考位形为gst(0),则工具坐标系到固定坐标系的运动学正解映射gst(θ)可由任意分支开链机构的指数积运动公式表示:

(1)

注意式(1)含有被动关节k+1,k+2,…,n的变化量。对于闭链机构,当给定主动关节的位置变化量时,即可通过结构方程求出相应的被动关节变量,其结构方程的指数坐标形式可表示为

(2)

对式(2)进行整理,可得闭链部分的简化结构方程:

(3)

对串并联机构进行运动学分析时,合理选取串并联系统中某个闭链关节为切断铰,将系统变为串联机构。式(3)即为机构的闭环约束方程。

3　Kane动力学方程

Kane动力学分析方法于二十世纪六十年代由美国学者Kane[5]提出并加以论证。Kane方法不同于其他动力学建模方法,其基于分析力学理论,将系统中各个广义速率作为构件广义坐标的独立变量来描述系统的运动,引入偏速度以及偏角速度的概念[6],并将矢量形式的力与达朗伯惯性力直接向特定的基矢量方向投影进而消除约束力,因而Kane方法兼有矢量力学和分析力学的特点。

利用物体速度雅克比矩阵和偏速度旋量[7]的关系,可以将旋量理论和Kane动力学方程有机地联系起来。为分析方便,现将Kane方程中的主动力、惯性力等均用旋量的形式表示。

对于一个具有n自由度的空间机构,假设系统构件i的质心处受到的外界主动力主力矢和主力矩分别用Rc,i和Mc,i表示,则构件i受到的外界主动力旋量可表示为

(4)

(5)

构件i的偏速度旋量可以由构件质心的偏速度和偏角速度表示为

将系统中所有构件的主动力旋量与其偏速度旋量的点积累加即可得到系统相对于某一偏速度旋量的广义主动力为

j=1,2,…,n。

(6)

同理,将系统中所有构件的惯性力旋量与其偏速度旋量的点积相加求和即可得到系统相对于某一偏速度旋量的广义惯性力：

j=1,2,…,n。

(7)

根据式(6)和式(7)广义主动力和广义惯性力对于空间n自由度连杆机构,可以得到其基于旋量理论的Kane动力学方程为

具体表达为

(8)

由动力学方程(8)可知,方程的数目等于系统中包含活动构件的数目。

根据上述建立的开链机构的Kane动力学方程,并结合各个构态的闭环约束方程(3)可得到一般串并联变胞机构的全构态动力学方程:

4　变胞机构的动力学建模

空间复杂曲面切割机切割变胞机构的具体结构见文献[8],切割变胞机构末端为五杆两自由度闭链机构,如图1所示。重新定义各个杆件以及关节编号,并将其中的变胞运动副关节5作为切断铰,形成开链五杆机构。将其中一个不动件看作基座,在切断铰处建立绝对坐标系xyz,并在各个杆件质心点处建立其连体坐标系xiyizi。图中q1、q2、q3、q4分别为关节1、2、3、4轴线上的点,各个连体坐标系同绝对坐标系的位姿关系如图1所示。

图1　复杂曲面切割机五杆两自由度闭链机构示意

根据连杆物体速度雅克比矩阵的计算公式[9]以及上述q1、q2、q3、q4四点坐标和各关节轴线方向在各个连体坐标系中的表示,可以计算得出构件1、2、3、4的物体速度雅克比矩阵:

4.1构件广义主动力旋量和广义惯性力旋量

由空间复杂曲面切割机变胞机构的驱动情况可知,该机构中只有滑块1和杆件4受到电机驱动力和驱动力矩的作用,其余构件受到的主动力只有重力。设滑块1和构件4受到的电机驱动力(矩)分别为f1和τ4,方向分别于关节的移动和旋转方向一致,各个构件的质量分别表示为m1、m2、m3、m4。

根据式(4)可知作用于各个构件质心上的主动力旋量Fc,i由主动力主矢Rc,i和主动力矩主矢Mc,i两部分组成,所以滑块1受到的主动力旋量在连体基坐标系表示为

由于杆件2和3只受到自身重力的作用,所以作用于杆件2上的主动力旋量在坐标系x2y2z2表示为

在连体坐标系下,杆件3受到的主动力旋量为

考虑到杆件4除了受到重力作用外,还受到变胞自由度电机转动力矩的作用,可以计算得出杆件4的主动力旋量为

根据上述对偏速度,即物体速度雅克比矩阵以及各个构件主动力旋量的计算,由式(6)可以得出各个构件广义主动力Fi(i=1,2,3,4)可以表示为

i=1,2,3,4。

(9)

(10)

式中:mi——构件i的物体质量;

Ic,i——构件i在连体坐标系中绕轴的转动惯量。

根据式(5)、(7)和(10)可得系统中各个构件的广义惯性力为

i=1,2,3,4。

(11)

4.2复杂曲面切割变胞机构的全构态动力学方程

选取五杆变胞机构中的变胞运动副,即图1中所示的转动副O为闭链机构切断铰。为建立该变胞机构的构态1和构态2的动力学方程,必须引入不同构态下的切断铰的闭环约束方程。

变胞机构处于构态1时,转动副O为驱动关节,根据空间闭链的运动学结构方程(3)可得,此时该机构的闭环约束方程分别为

(12)

当变胞机构处于构态2,转动副O锁死,构件4和基座固结,此构态下该闭链机构的约束方程分别为C2(θ)=[ξ1][θ1]+[ξ2ξ3-ξ4][θ2θ3-θ4)]T=0,

(13)

式中:ξo、ξ1、ξ2、ξ3、ξ4——各个轴线的旋量坐标;

θo、θ1、θ2、θ3、θ4——各个关节变量。

该变胞机构引入切断铰后,基座和构件1、2、3、4组成了一个空间开链机构。根据式(9)、(11)建立开链机构的Kane动力学方程,并结合各个构态的闭环约束方程(12)和(13)可得到切割机变胞机构的全构态动力学方程:

式中:i——变胞机构中构件数目;

j——变胞机构的构态。

5　结束语

对旋量理论在空间机构运动学分析中的应用进行了介绍,引入切断铰将空间串并联机构的运动学分析问题,转化为开链机构和局部闭链机构的运动学子问题,通过指数积公式和闭链机构结构方程建立了一般串并联机构的约束方程。结合旋量理论建立了空间机构的Kane动力学方程,并对曲面切割机变胞机构的广义主动力和广义惯性力进行了计算。结合旋量理论和Kane方程,给出了一般串并联变胞机构的全构态动力学方程。并对五杆两自由度闭链变胞机构进行分析,建了其全构态动力学方程,为变胞机构的动力学建模方法提供一种参考。

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(编辑李德根)

Configuration-complete dynamic model of metamorphic mechanism based on screw theory

LIUXiulian1,2,ZHANGXiaodong2

(1.School of Mechanical Engineering, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China; 2.School of Mechanical & Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

This paper is an attempt to enrich and develop the theory of mechanism by transforming motion analysis problem of spatial series-parallel mechanism into motion analysis sub-problem of open chain and closed-chain mechanism as a result of cut-off joint and developing kinematics and dynamics models of spatial mechanism based on screw theory. The paper describes the calculation of the inertia main force and the inertia main torque using screw theory and Kane method in the case of the two DOF of five rods closed chain metamorphic mechanism and the development of the configuration-complete dynamic model for metamorphic mechanism. This model provides some reference for dynamics model of metamorphic mechanism.

screw theory; Kane method; metamorphic mechanism

2013-03-25

刘秀莲(1979-),女,辽宁省葫芦岛人,讲师,博士,研究方向:机构的运动学和动力学,E-mail:lxl-2002@163.com。

10.3969/j.issn.1671-0118.2013.03.006

TH113

1671-0118(2013)03-0241-05

A