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(大化县高级中学 广西大化 530800)

一个向量旋转问题的探讨

●覃志根

(大化县高级中学 广西大化 530800)

向量是高中数学的重要内容，它具有几何与代数的双重属性，与函数、三角函数、圆锥曲线等内容有着“亲密”的关系.在近几年的高考试题中，向量与函数、三角函数、圆锥曲线等内容结合的题目越来越多，可以说“到处可以见到它们的影子”.解决此类问题的方法灵活多样，本文以2012年安徽省数学高考的一道选择题为例，研究探讨向量旋转问题的解法.

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(2012年安徽省数学高考理科试题)

解法1根据定义和三角求值.

解法2估算.

解法3利用向量的夹角公式和模长公式，结合待定系数法．

设Q(x,y)，则

即

x2+y2=100.

即

解法5由题意，知

设点Q(x,y)，则

解得

因此

从而直线OQ的倾斜角为

即

|OQ|2=|OP|2=100，

所以

x2+y2=100.

即

设Q(x,y)，则

本题入口宽，方法多，活而不难，注重通性通法，淡化特殊技巧，突出对学生灵活运用知识能力的考查.解法1利用定义和三角函数求值；解法2注重对问题的估算，进行排除运算；解法3利用向量的夹角公式和模长公式，结合待定系数法求解；解法5充分利用向量“数”的特征，体现了方程思想的应用；解法6将向量的旋转与三角函数的定义结合起来，体现了三角函数与向量的内在联系；解法7充分利用了向量加减运算的平行四边形法则，体现了数形结合思想的应用；解法8、解法9、解法10分别利用复数、参数方程、极坐标等知识，将所求问题赋予了新的含义.

上述各种解法，是对所给问题多角度观察、联想、思考的结果.本题让我们又一次深刻体验到：高考题中蕴含着基本的数学思想方法，一题存在多种解法，具有灵活多样性的特点.