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赋p-Amemiya范数的Musielak-Orlicz函数空间的复凸性*

2013-10-24崔云安牛金玲陈丽丽

关键词:云安凸性奇数

崔云安,牛金玲,陈丽丽

(哈尔滨理工大学)

0 引言

1967 年,Thorp E 与 Whitley R[1]首次引入复端点的概念,1987年,吴从炘、孙慧颖[2-4]讨论了矢值Musielak-Orlicz函数空间的复端点的刻画问题,并给出该空间中复严格凸性和复一致凸性的充要判据.2008年,崔云安等[5]在Orlicz空间中引入了p-Amemiya范数的定义,证明了它与经典的Orlicz范数和Luxemburg范数是等价的,并给出赋p-Amemiya范数的Orlicz空间中端点的刻画.2009年,崔云安,Hudzik H 等[6]继续研究了赋p-Amemiya范数的Orlicz空间的强端点的充要判据问题.

1 预备知识

(X,‖·‖X)表示定义在复数域C上的复Banach空间,B(X)和S(X)分别表示该空间的闭单位球和单位球面.

定义1.1[7](T,∑,μ)表示非原子完备的测度空间,μ(T)<∞.Φ是Musielak-Orlicz函数是指 Φ:T×[0,+∞)→[0,+∞]满足:

(1)对μ-a.e.t∈T,Φ(t,u)是μ-可测函数,对任意的u∈[0,+∞);

(3)Φ(t,u)关于 u是[0,∞)上的凸函数.

令 e(t)=sup{u ≥0:Φ(t,u)=0},

E(t)=sup{u ≥0;Φ(t,u)< ∞}则e(t)和E(t)都是μ-可测函数.

定义1.2[7](X,‖·‖)表示复Banach空间,记XT表示所有从T到X的μ-可测函数的全体,对任意的x∈XT,定义如下模函数:

由它生成相应的Musielak-Orlicz函数空间

对Musielak-Orlicz函数空间LΦ赋予如下范数p-Amemiya范数

即为一个 Banach 空间,记为 LΦ,p=(LΦ,‖·‖Φ,p).

定义1.3x∈S(X)为B(X)的复端点是指对∀y∈X{0},有

定义1.4[8]设(X,‖·‖X)是复Banach空间,x∈S(X)是B(X)的复强端点是指对任意的 ε > 0,Δc(x,ε)> 0,其中

引理1.5[7]对任意的 ε > 0,存在 δ∈使得若 u,v∈ C,且

2 主要结果

定理2.1 设1≤ p<∞,p是奇数,x∈S(LΦ,p),则如下结论等价:

(i)x是 B(LΦ,p)的复强端点;

(ii)x是 B(LΦ,p)的复端点;

(iii)对∀k∈Kp(x),有μ{t∈T:k|x(t)|<e(t)}=0.

证明 (i)⇒(ii)是显然的.

(ii)⇒(iii)设 x∈S(LΦ,p)是 B(LΦ,P)的复端点,且存在∀k0∈Kp(x)使得μ{t∈T:k0|x(t)|<e(t)}>0.易知可找到公共的d>0及T0∈∑满足μ(T0)>0且使得

这与假设的x是B(LΦ,p)的复端点矛盾.

(iii)⇒(i)假设 x0不是B(LΦ,p)的复强端点,由定义1.4知存在ε0>0使得

即存在 λn∈ C,| λn|→ 1,yn∈ LΦ,p,满足‖yn‖Φ,p≥ ε0使得

‖λnx0± yn‖Φ,p≤1,‖λnx0± iyn‖Φ,p≤1由此可知

对上述的ε0>0,由引理1.5知,存在,使得若 u,v∈ C,

对每个n∈N,令

由于|λn|→1(n→∞),可知对充分大的n有下式成立:

这说明An≠∅.从而,对任意t∈An,有

为完成证明,考虑如下两种情形:

(Ⅰ)kn→∞(n→∞),这里

则对每个n∈N,

注意到

由于kn→∞(n→∞),可知对充分大的n,有

考虑到p是奇数,可推出如下矛盾:

(Ⅱ)kn→k0(n→∞),这里

则对每个n∈N,有

令n→∞,可知

利用(Ⅰ),知

因为kn→k0(n→∞),故对充分大的n有如下不等式成立:

可知

又因p是奇数,得到如下矛盾:

定理证毕.

3 结束语

通过该文的研究,得到了赋p-Amemiya范数的Musielak-Orlicz函数空间中1≤p<∞且p是奇数时,该空间中单位球的复端点和复强端点的判别准则.但是,当p为偶数的情况下,该空间中单位球的复端点和复强端点的判别准则尚未得出,这部分结果正在研究当中.

[1] Thorp E,Whitley R.The Strong Maximum Modulus Theorem for Analytic Functions into a Banach Space[J].Proc Amer Math Soc,1967,18(4):640-646.

[2] 吴从炘,孙慧颖.关于Musielak-Orlicz空间的复端点与复严格凸[J].系统科学与数学,1987,7:7-13.

[3] 吴从炘,孙慧颖.Musielak-Orlicz空间的复一致凸性[J].东北数学,1988,4:389–396.

[4] Wu C,Sun H.On the Complex Convexity of Musielak-Orlicz Spaces[J].Comment.Math,1989,28:397-408.

[5] Cui Y,Duan L,Hudzik H,et al.Basic Theory of p-Amemiya Norm in Orlicz Spaces(1≤p≤∞):Extreme Points and Rotundity in Orlicz Spaces Equipped with These Norms[J].Nonlinear Anal,2008,69(5-6):1796-1816.

[6] Cui Y,Hudzik H,Li J,et al.Strongly Extreme Points in Orlicz Spaces Equipped with the p-Amemiya Norm[J].Nonlinear Anal,2009,71(12):6343-6364.

[7] Chen S T.Geometry of Orlicz spaces,Dissertations Math.Warszawa,1996.

[8] Chen Lili,Cui Yunan,Hudzik Henrik.Criteria for Complex Strongly Extreme Points of Musielak-Orlicz Function Spaces[J].Nonlinear Anal,2009,70(6):2270-2276.

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