霍振宏， 刘喜玲, 邹 成

(1.中原工学院 a.理学院；b.信息商务学院, 郑州 450007；2. 四川化工职业技术学院, 四川 泸州 646005)

环面自映射在拓扑空间中的回归点*

霍振宏1a， 刘喜玲1b**, 邹 成2

(1.中原工学院 a.理学院；b.信息商务学院, 郑州 450007；2. 四川化工职业技术学院, 四川 泸州 646005)

连续映射；邻域；周期点；回归点

1 概念与记号

设X为一拓扑空间,f∈C0(X,X)，用f0表示恒等映射，对任何自然数n，归纳地定义f1=f,f2=f°f,…,fn=f°fn-1.

用S1表示圆周,不失一般性，设圆半径为1,于是S1是平面上满足下列条件的点(x,y)之集：S1={(x,y)|x2+y2=1,(x,y)∈R×R}.有时，把Q(x,y)看成复数x+iy是很方便的.由于x2+y2=1，故用复数的三角形式e2πiθ=cos 2πθ+i sin 2πθ(0≤θ<1).可以把圆周S1上的点参数化.

下文中，用f表示f：S1×S1→S1×S1是环面上的连续自映射，用X表示环面S1×S1.

2 相关命题

命题1 设f为环面X上的连续自映射，则P(f)⊂R(f).

证明设(x,y)∈P(f)，则存在n>0，使得fn(x,y)=(x,y)，且fk(x,y)≠(x,y)，∀k=1,2,…,n-1. 则对于(x,y)的任意邻域U，有fn(x,y)∈U.根据回归点的定义可知(x,y)∈R(f)，从而由(x,y)的任意性可得，P(f)⊂R(f).

命题2 设点(x,y)是环面X上的连续自映射f的一个回归点当且仅当序列(x,y)，f(x,y)，f2(x,y)，…存在一个收敛于(x,y)的子序列.

证明(⟹)设(x,y)∈R(f)⟹对于(x,y)的任意邻域U，∃n>0，使得fn(x,y)∈U，由收敛定义可知，序列(x,y)，f(x,y)，f2(x,y)，…，必存在正整数序列m1,m2,…，使得子序列fm1(x,y),fm2(x,y),…收敛于(x,y).

(⟸)设序列(x,y)，f(x,y)，f2(x,y)，…，存在一个收敛于(x,y)的子序列，则对(x,y)的任意邻域U，∃n>0，使得fn(x,y)∈U，根据回归点的定义知，(x,y)∈R(f).

命题3 设f为环面X上的连续自映射，则R(f)=R(fn),n=1,2,….

证明显然，根据定义便有R(fn)⊂R(f).以下证明R(f)⊂R(fn).

设(x,y)∈R(f)，根据命题2，序列(x,y)，f(x,y)，f2(x,y)，…，有一个收敛于(x,y)的子序列.设这个序列为fm1(x,y),fm2(x,y),…，对于每一个i=1,2,…，令mi=kin+ri，其中ki≥0，0≤ri

(1)U1⊃U2⊃…⊃Un.

(2)fsij(Uj+1)⊂Uj,j=1,2,…,n-1.

(3)fnij(x,y)∈Uj,j=1,2,…,n.

这样，便有fsi1+si2+…+sin(x,y)∈U1，而si1+si2+…+sin≡0(modn).以上表明(x,y)∈R(fn)，因而，R(f)⊂R(fn).

命题4 设f为环面X上的连续自映射，J⊂X.如果J中没有f的周期点，即J∩P(f)=∅，那么

(1) 对∀(x,y)∈J，(x,y)的任一邻域U⊂X，总存在整数n>0，使得fn(x,y)∉U.

(2) 对∀(x,y)∈J，(x,y)的任一邻域U⊂X，以及整数n>0，若fn(x,y)∈J，则fn(x,y)∉U.

证明(1) (用反证法).假设条件(1)不成立，则有……