陈 娇

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

带有q距离的广义Ekeland变分原理的应用*

陈 娇

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

研究了广义Ekeland变分原理在分离赋范空间中的一些重要应用.利用广义Ekeland变分原理证明了函数f满足关于∂的Takahashiε-条件当且仅当f满足关于相同的∂的Hamelε-条件.

Ekeland变分原理；q距离；Takahashi-ε条件；Hemal-ε条件

基于Ekeland变分原理在非线性分析、优化控制论、动力系统等各方面都有广泛应用，许多作者从不同的角度进行了推广[1-9].特别地，Z.L.Wu[3]在完备度量空间中利用Ekeland变分原理证明了Takahashi-ε条件的等价定理，以及在弱尖极小及不动点等中的应用.J.H.Qiu[9]在分离赋范空间上建立了具有q距离的广义Ekeland变分原理，并利用其推导出广义Caristi不动点定理、广义Takahashi非凸最小化定理, 并证明其等价性等相关给论.

此处在分离赋范空间下引入q距离分别建立Takahashi-ε条件及Hemal-ε条件, 并利用广义Ekeland变分原理证明其等价性及一些相关结论.

1 预备知识

为了得到主要结果,首先引进下面的定义和引理.

定义1[9]设X是一个分离赋范空间，映射P：X×X→[0,+∞)满足：

(p1) ∀x,y,z∈X,p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z).

(p2) 对任意序列{yn}∈X,满足p(yn,ym)→0(m>n→∞)是一个柯西列，p(yn,y)→0与yn→y等价.

(p3) 对每个x,y,z∈X,p(z,x)=0且p(z,y)=0,则x=y.

则称p是p距离.如果条件(p2)用下面更弱的条件：

(q2) 对任意序列{yn}∈X,满足p(yn,ym)→0(m>n→∞)是柯西列，p(yn,y)→0蕴含了yn→y.

则称p是q距离.

定义2 设(X,μ)是赋范空间，p是q距离.称真函数f：X→(-∞,+∞]关于p序列下单调的，如果对任意序列{xn}满足

定义3 设(X,μ)是分离赋范空间P：X×X→[0,+)为q距离，φ：(-∞,+∞]→(0,+∞)为非减函数.f：X→R∪{+}为序列下单调、下有界的真函数.称f满足关于∂的Takahashiε-条件，如果存在ε,α,x∈X分别满足0<ε≤+∞,∂>0，infXf

称f满足关于相同的∂的Hamelε-条件，如果存在ε,α,x∈X分别满足0<ε≤+∞,∂>0，infXf

定理1 设(X,U)是分离……