王 红 卫

(中国石油大学 理学院，山东 青岛 266580)

一类新型抽象二阶积-微分方程两点边值问题

王 红 卫

(中国石油大学 理学院，山东 青岛 266580)

利用新的积分和微分不等式研究了一类新型抽象二阶积-微分方程的两点边值问题解的存在唯一性，给出了解的隐式迭代序列和误差估计式.

积-微分方程；单调迭代方法；微分和积分不等式

考虑Banach空间E中非线性二阶积-微分方程两点边值问题：

(1)

其中：t∈I=[0，1]，x0，x1∈E，f，g∈C[I×E，E]，k(t，s)∈C[D，R+]，R+=[0，+)，D={(t，s)∈R2：0≤s≤t≤1}，k0=max{k(t，s)：(t，s)∈D}.

设E是实Banach空间，P是E中的一个锥，P在E中定义半序“≤”，即：x，y∈E，x≤y⟺y-x∈P.

称Banach空间E中的锥P为正规的，如果θ≤x≤y，则‖x‖≤NP‖y‖，其中NP称为P的正规常数.设E*是E的共轭空间，P*={φ∈E*|φ(x)≥0，∀x∈P}称为P的共轭锥，显然有x∈P⟺∀φ∈P*，φ(x)≥0.

由文献[1]知，不失一般性，设正规常数NP=1.

文献[2][3]讨论了两点边值问题解的存在性，但这些结果无一不使用了空间的某些紧性条件，并且没有给出解的迭代逼近和相应的误差估计.目前，关于两点边值问题(1)的研究并不多见，而有关的研究中同样也用到了某种紧性条件，并且不能得到解的存在唯一性及逼近解的迭代序列的误差估计.

此处是在没有使用任何紧性条件的前提下，利用单调迭代方法和积-微分不等式理论研究Banach空间中一类新型非线性二阶积-微分方程两点边值问题的解的存在性和唯一性，并且给出了单调收敛迭代序列和误差估计式.

1 引 理

引理1 设E是实Banach空间，P是空间E中的锥，u∈C2[I，E]，若存在常数M>0使得

u″≤Mu(t)，u(0)≥θ，u(1)≥θ

成立，则u(t)≥θ，t∈I.

引理2[4]设x(t)：I→E连续，则对任意的a∈I，下面成立：

显然有下面命题：

2 主要结果及证明

方便起见，列出下面的基本假设：

(H1) (i)存在u0∈C2[I，E]，使得下……