陈 红 英

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

向量变分原理

陈 红 英

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

证明了Ekeland形式的向量变分原理，其目标函数是被xiu扰动的单调半连续函数.

向量变分原理；拟度量空间；可数有续集；Ekeland 变分原理

众所周知，I.Ekeland[1，2]在1972年给出了带扰动的下半连续函数取严格极小值和下方有界的下半连续函数的近似值存在性的变分原理.其在非光滑分析、最优化理论、控制理论、向量均衡问题、偏微分方程及临界点理论中有着许多应用.因此，Ekeland 变分原理在向量值映射和极值映射的多种等价形式被证明[3-5].特别地，Y.X.Li[6]等在完备度量空间中研究了一般Ekeland ε-变分原理.L.J.Lin[7]在完备度量空间中证明了广义Ekeland 变分原理，并利用其推导出广义Caristi不动点定理.此处在完备的拟度量空间下，证明了Ekeland形式的向量变分原理.

1 预备知识

为了得到主要结果，首先引入下面的定义、定理和引理.

设X为非空集合.实值函数d：X×X→R+对任意的x，y，z∈X满足：(1)d(x，y)≥0；(2)d(x，y)=0当且仅当x=y；(3)d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)，则称d是X上的拟度量，(X，d)称为拟度量空间.

设X为非空集合，X×X：={(x1，x2)|x1，x2∈X}，s是X×X的一个非空子集.如果(x1，x2)∈s，记为x1sx2.现对s规定：(1)自反性：若对任意x∈X，有xsx；(2) 传递性：若对任意的x1，x2，x3∈X：x1sx2，x2sx3⟹x1sx3；(3) 反对称性：若对任意的x1，x2∈X：x1sx2，x2sx1⟹x1=x2.若xs*y，当且仅当存在X中的有限个元素x1，x2，…，xn∈X使得x=x1，x1sx2，…，xn-1sxn，xn=y，关系s*是关系s的传递闭包.显然，如果s具有传递性，则s=s*.

定义1[8]设s为非空集合X上的二元关系，X0⊂X是非空集合，元素x0∈X0称为X0关于关系s的最大元素(s-最大)，如果对每个x∈X0，x0sx⟹xsx0.这一类X0关于关系s的最大元素记为Max(X0，s).

当s为X上一个偏序关系，则定义1可改写为：x0∈X0是s-最大，如果对每个x∈X0，x0sx⟹x=x0.事实……