吴麟琳，黄少锋

（华北电力大学 四方研究所，北京 102206）

0 引言

我国电网已进入了大容量、远距离、多区域互联的发展时期，西电东送、南北互联在带来巨大经济效益的同时使电网日趋复杂化，系统失步发生的概率也大幅增加［1-3］。失步解列作为防止系统崩溃的最后一道防线，对电力系统安全稳定运行具有重要意义［4-5］。目前基于视在阻抗轨迹的解列判据整定较为困难，容易受到系统运行方式和网络结构变化的影响；根据基于ucos φ轨迹的失步解列判据能够得到失步中心出现的时刻，却难以得到失步中心的位置；基于相角的失步解列判据在电网复杂的情况下，电网潮流方向改变时会造成误判；基于补偿原理的失步解列判据在线路带大量中间负荷时难以实现［6-8］。

本文研究了电力系统失步振荡过程中，两侧电动势幅值相等及不等情况下电压频率的特征，从而提出一种基于频率特征的失步解列判据，该判据可以区分同步振荡和失步振荡，识别振荡中心的位置，同时不受系统结构变化和运行方式变化的影响。目前对电网频率测量算法的研究［9-11］和PMU在频率测量方面的应用［12-13］为判据的实现奠定了理论基础。

1 失步振荡时电压频率的特征

在图1所示的MN线路等值系统中，两侧等值电动势分别为 ES、ER，其等值正序阻抗为 ZS、ZR；两侧母线电压为UM、UN；线路正序阻抗为ZMN；M侧流向N侧的线路电流为IM，N侧流向M侧的线路电流为 IN。

图1 MN线路等值系统图Fig.1 Equivalent network of line MN

当系统发生失步振荡时，不妨设M侧是送电端，ES超前于 ER，ES=ERejδ，其角速度可分别表示为 ωS=ω+Δω 与 ωR=ω；ES与 ER之间的夹角 δ在 0°～360°的范围内周期性变化。不妨设t=0时ES与ER的相量关系如图2所示。其中δ0为t=0时ES与ER之间的夹角，则有：

图2 t=0时刻ES与ER的相量关系图Fig.2 Phasor diagram of ESand ERat t=0

如图1所示，计及K点的电气位置系数可以表示为：

其中，0＜ρK＜1。母线M和母线N处的电气位置系数可分别表示为和，则线路上任意K点的电压可以表示为：

由式（3）可求得K点电压的幅值：

1.1 失步振荡中心的电压频率特征

在两侧电动势幅值相等且系统中各元件阻抗角相等的情况下，振荡中心位于整个电气的中心，即ρK=1/2 处［14］。 从而由式（4）可以求得振荡中心的电压幅值：

由式（3）和式（5）得到振荡中心电压的瞬时值为：

设fS和fR分别为两侧等值电动势的频率，则振荡中心的电压角速度为（ωS+ωR）/2，其频率为（fS+fR）/2。根据文献［5］的研究，电流IM在系统振荡时的频率也为（fS+fR）/2，即振荡中心处的电压频率和电流频率相等。

1.2 失步振荡时任意K点电压频率特征

在系统失步振荡情况下，当 0°＜δ＜180°时，根据式（3）能够得到如图3所示的相量关系图。

图3 ES、ER和UK的相量关系图Fig.3 Phasor diagram of ES，ERand UK

图中ω+ΔωK为线路上任意K点电压相量的角速度，由于夹角δ呈周期性变化，因此不妨设t=0时ES与 ER之间的夹角 δ0=0，相量 UK和 ρKER之间的夹角δK0=0，从而可以得到：

利用平行四边形法则和余弦定理可以得到：

由式（7）—（9）可以得到 δK的表达式：

从而可以得到，当 0°＜δ＜180°时，线路上任意K点对应的电压相量UK的频率为：

同理，当 180°＜δ＜360°时，利用平行四边形法则和余弦定理能够得到K点对应的电压相量的频率为：

可以看出线路上任意K点对应的电压相量UK的频率fK取决于K点的电气位置系数、系统两端等值电动势的频率及其夹角δ。由于前文所设，M侧是送电端，ES超前于 ER，即ES的频率fS大于 ER的频率 fR，由式（11）和式（12）可以得到 K点电压频率的变化规律如图4所示。

图4 K点电压频率图Fig.4 Voltage frequency waveforms of node K

图4为2个失步振荡周期内电压频率的变化规律，可见电压频率随两侧电动势夹角连续变化，失步振荡中心即ρK=1/2处的电压频率等于（fS+fR）/2，其一侧的电压频率在（fS+fR）/2～fS之间周期性变化，另一侧的电压频率在fR～（fS+fR）/2之间周期性变化。

2 两侧电动势幅值不等时电压频率的特征

当0°＜δ＜180°时，其相量关系仍如图3所示，利用余弦定理和平行四边形法则可以得到：

其中，δ′K为两侧电动势幅值不等时，UK与 ρKER之间的夹角。 由式（13）和式（14）可以得到 δ′K的表达式：

当 0°＜δ＜180°时，由式（7）、式（8）和式（15）可以得到线路上任意K点对应的电压相量的频率为：

同理，当 180°＜δ＜360°时，再次利用余弦定理和平行四边形法则可以得到线路上任意K点对应的电压相量的频率为：

在两侧等值电动势幅值不等的情况下，当系统发生失步振荡时，根据式（16）和式（17）可以得到如图5所示的线路上任意K点的电压频率变化规律。

图5 两侧电动势幅值不等时K点电压频率图Fig.5 Voltage frequency waveforms of node K when electromotive force amplitude of one side is unequal to that of the other side

图5为一个失步振荡周期内电压频率的变化规律，可见当α=0.8时，振荡中心的电气位置系数ρK=0.5555；当α=0.4时，振荡中心的电气位置系数ρK=0.7143。可见两侧电动势幅值差别越大，振荡中心越靠近幅值较小的一侧。与两侧电动势幅值相等的情况相比较，线路上任意一点电压频率仍具有如下规律：失步振荡中心处的电压频率等于（fS+fR）/2，其一侧的电压频率在（fS+fR）/2～fS的范围内周期性变化，另一侧的电压频率在fR～（fS+fR）/2的范围内周期性变化。

3 基于频率特征的失步解列判据

正常运行的电力系统中各发电机以同步转速运行，各发电机的电动势都以同样的工频角频率旋转，各电动势之间的相位差维持不变［9］，此时电流频率和电压频率均为工频频率。当发电机输入或输出功率发生变化，其功角δ需要经过若干次在新的功角值附近振荡之后才能稳定，这一过程即同步振荡，此时包括频率在内的电气量出现摆动且以平均值为中心进行振荡。如果电力系统受到某种干扰，发电机功角δ在0°～360°之间周期性地变化，称作电力系统异步振荡［14］。通过上文的分析可知，此时电压频率具有如下特征：

a.振荡中心同一侧的电压频率同时增加或同时减小；

b.振荡中心两侧的电压频率没有交集；

c.对于振荡中心的两侧，若一侧电压频率增加，则另一侧电压频率减小；反之若一侧电压频率减小，则另一侧电压频率增加。

设 f1（k）和 f2（k）分别为某元件两端测得的电压频率，定义和，则有：

其中，m为求和的次数，对差值进行求和运算可以避免差值为零，同时起到抑制噪声、降低测量误差的作用。当同时满足式（18）和式（19）时可以判定系统内发电机功角出现振荡；同时满足式（18）—（21）时可以判定振荡中心在该元件上，因为振荡中心的两侧，若一侧电压频率增加，则另一侧电压频率减小，而振荡中心同一侧的各处电压频率同时增加或同时减小。

上述分析可以表示为图6所示的流程图。

图6 失步振荡识别流程图Fig.6 Flowchart of out-of-step oscillation identification

4 仿真与分析

仿真系统采用IEEE 3机9节点数据，如图7所示。线路参数考虑线路损耗和分布电容的影响，机组参数考虑励磁和调速器。利用BPA软件对该系统进行暂态仿真研究。设0周期时线路B-3上母线B近端发生三相短路事故，保护第一次动作失误，经过19个周期即0.38 s故障线路被切除，故障后系统发生失步振荡。

图7 IEEE 3机9节点测试系统Fig.7 IEEE 3-generator 9-bus test system

图8 G1与G3之间功角差Fig.8 Power angle difference between G1and G3

图9 线路两侧电压频率波形图Fig.9 Voltage frequency waveforms of both sides

图8为软件自动监控的仿真过程中最大发电机功角差，发生在G1与G3之间，可见在大约60个周期后发电机功角差δ在0°～360°之间周期性地变化，系统进入失步运行过程中。各条线路两侧母线电压值可以由BPA测得。图9分别为线路1-A和线路2-A两侧电压频率（基于50 Hz的相对值），可见振荡中心位于线路2-A上，线路1-A处于振荡中心的一侧。仿真过程中一周期采样10个点，即步长为0.002 s，根据式（18）—（21），取 m=3，将线路 1-A 两侧电压频率采样值代入图6所示的流程图，判据在1.104 s判断出系统失步振荡但振荡中心不在此线路上；对于线路2-A，判据在1.27 s判断出系统失步振荡且振荡中心在此线路上。

5 结语

通过理论分析及仿真验证表明，当系统发生失步振荡时，不论两侧电动势幅值是否相等，电压频率都具有以下特征：振荡中心同一侧的电压频率同时增加或同时减小；振荡中心两侧的电压频率没有交集；若振荡中心一侧电压频率增加，则另一侧电压频率减小，反之若一侧电压频率减小，则另一侧电压频率增加。从而提出一种新的基于频率特征的失步解列判据，该判据可以对同步振荡和失步振荡进行区分，识别振荡中心的位置，同时能够自适应于系统结构和运行方式的变化。