杨 达，肖先勇，汪 颖

（1.四川大学 电气信息学院，四川 成都 610065；2.四川大学 智能电网四川省重点实验室，四川 成都 610065）

0 引言

电压暂降被认为是导致现代电力负荷巨大经济和产品损失的最严重的电能质量问题[1-7]。评估设备因电压暂降引起的失效率已成为当前国内外研究的热点[7-12]，尤其是在大量可再生能源并网和大量敏感设备接入系统后，准确、定量评估敏感设备的电压暂降失效率具有重要意义[8-9]。

现有设备暂降失效率评估方法主要有实测统计法[7，13-15]、概率法[16-17]、模糊法[18-19]以及改进的方法。实测统计法原理简单，数据可靠，但监测时间长且安装成本高，无预测性；概率法用概率函数刻画设备电压耐受曲线 VTC（Voltage Tolerance Curve）[16-17]的不确定性，根据设备的不同敏感程度确定随机模型[17]，文献[20] 用最大熵原理确定VTC的随机不确定性；模糊法考虑了设备从正常到故障的中间状态，认为设备电压暂降耐受曲线具有模糊性。显然，随机性、模糊性分别描述的是由因果律和排他律缺失引起的不确定性，概率法和模糊法仅考虑了设备VTC不确定性的一个方面，实际中，随机性和模糊性经常同时存在，因此需同时考虑这两方面的不确定性。

熵作为度量不确定性的重要特征量之一，最大熵原理可用于分析随机变量和模糊变量的最大可能分布[20]，可分别用概率熵、模糊熵进行刻画。考虑到实际中VTC同时具有随机性和模糊性的特点，可用同时包含概率熵和模糊熵的混合熵度量设备电压暂

降失效事件的复杂不确定性。混合熵理论在空间数据[21]、产品测量[22]、遥感图像[23]等领域已得到应用，关键在于如何根据样本建立混合熵模型并求解。本文从实测样本出发，根据设备失效事件的具体物理特点，按照事件发生、发展和严重程度的不确定属性，对设备失效事件进行分类，将失效事件分为随机性、模糊性和交叉不确定性3类，然后根据样本统计所得各类事件的权重进行设备失效率的综合评估，并与现有随机法、模糊法进行对比，证明本文方法的合理性和准确性。

1 设备失效事件样本分类

实际测试表明，可编程逻辑控制器PLC（Programmable Logic Controllers）、个人计算机和可调速电机ASD（Adjustable Speed Drives）的 VTC 一般呈现矩形，在暂降幅值-时间平面上有一个不确定区域[11]，如图1中曲线1和曲线2之间区域。将该不确定区域划分为A、B、C 3个子区域，当暂降发生在区域A时，设备故障与否同时取决于暂降持续时间和暂降幅值；发生在区域B时，其取决于暂降持续时间，与暂降幅值无关；发生在区域C时，其仅与暂降幅值有关。图中t、U分别为暂降持续时间和暂降幅值。

图1 设备VTC分布的不确定区间Fig.1 Uncertainty region of VTC of equipment

VTC不确定区域在物理本质上的不确定性有：发生在该区域的电压暂降是否导致设备失效的不确定；设备失效严重程度的不确定。因此，设备电压暂降失效事件的不确定性应从失效事件发生和失效严重程度两方面的不确定进行分析。

以PC机为例。实测发现，PC机是否故障既与暂降特征有关，又与PC机当时的运行状态有关，失效事件发生的原因不明，因此设备是否失效的不确定性主要是随机性。发生电压暂降时，PC机从正常到故障有一个过渡过程，该过程中，PC机可能出现文档读写错误、计算出错、死机等不同状态，显然是度量失效严重程度的排他律缺失，属于模糊不确定性。实际中还发现，在电压暂降作用下，PC机还可能出现“假死”状态，即发生短时故障后很快自动恢复正常，该类事件的失效严重程度难以精确度量，具有模糊性，而出现短时故障后能否自动恢复又具有随机性。可见，PC机失效事件中同时包含了随机和模糊不确定性，具有混合不确定性。

根据设备失效事件发生的不确定性及其严重程度的不同，可将失效事件样本细分为4类：

a.仅失效事件发生与否不确定的随机性样本，其严重程度确定，如停机、死机等事件样本；

b.不仅事件发生与否随机，而且失效后是否自动恢复也随机，如自动重启；

c.事件发生与否随机，失效严重程度不确定，如文件丢失或计算错误；

d.是否发生失效随机，失效严重程度模糊，失效后能否自动恢复又随机，存在交叉不确定性，如PC机“假死”。

其中，a、b类事件样本的不确定性均为随机性，c类样本仅有模糊性，而d类样本的不确定性是随机性与模糊性的交叉不确定性。因此，根据实测样本的不确定性，可将样本分为图2所示的3类。

图2 实测样本不确定性分类与熵的刻画Fig.2 Sample uncertainty classification and entropy depiction

2 失效事件不确定性混合熵刻画

根据图2中样本不确定性分类，可引入混合熵概念刻画失效事件的不确定性。混合熵由随机熵、模糊熵、交叉熵组成，这样可对实际设备失效事件的混合不确定性进行更科学的刻画。

根据Deluca和Termini的定义，混合熵H为：

其中，n为不确定样本总数；pi为样本概率；μi为样本的模糊隶属度。

当电压暂降发生在图1所示区域B时，失效事件仅与暂降持续时间t有关；当暂降发生在区域C时，失效事件仅与暂降幅值U有关；仅当暂降发生在区域A时才同时取决于t和U。假设t和U对设备失效事件的影响是独立的[20]，可分别评估 t、U的影响后进行综合。在式（1）中，U、t导致的设备VTC出现的概率和模糊隶属度分别表示为 pUi、μUi和 pti、μti，对应的样本数分别表示为nU、nt。

式（1）引入的混合熵应满足的基本公理[24]：当模糊性消失时，混合熵退化为随机熵；随机性消失时，混合熵退化为模糊熵。

对式（1）进行简单变化得：

其中，Hr、Hf、Hrf分别为随机熵、模糊熵、交叉熵。

由式（2）可知，当 μi=0或1时，即模糊性消失时，H=Hr，此时混合熵退化为随机熵，同理，当pi=0或1时，即随机性消失时，H=Hf，此时混合熵退化为模糊熵，因此，混合熵能更合理地刻画设备失效事件的混合不确定性。

3 最大混合熵评估模型与解法

3.1 最大混合熵评估模型

混合熵作为对复杂不确定性的度量，在有限的约束条件下，当熵值越大时，所得不确定性规律中包含的主观因素越少，因此，可根据最大混合熵模型确定电压暂降幅值、持续时间引起的在不确定区域A、B、C内设备耐受能力曲线出现的概率pi和严重性隶属度μi。

最大混合熵模型为：

其中，E1、Eh分别为1阶原点矩和h阶中心矩。仿真证明，n＜6 时，h≤3；n≥6 时，h 仅需取 4 或 5。

根据可能性与概率的一致性原理[25]，可将式中模糊隶属度μi转化为与随机变量pi相关的函数，转换方式为：

其中，mi为设备失效率。其离散形式为：

其中，mti为暂降持续时间导致的设备失效率，mUi为暂降幅值导致的设备失效率。

式（7）是暂降发生在区域A时的由暂降幅值和持续时间同时确定的设备失效率，可见mi是变量pi的函数，因此得 g（pi）=mi／max（mi）。

当暂降发生在区域B、C时，式（7）中仅含持续时间或幅值引起的分量。

3.2 模型求解

式（3）、（4）确定的模型可用近似规划法求解[26]，基本思想为：把目标函数、约束条件近似为线性函数，并对变量取值范围加以限制，将问题转化为近似线性规划问题，再用单纯形法求解；选取满足约束条件的一个解作为近似初解进行迭代求解。规划步骤如下。

b.在可行点处，将目标函数与约束条件按泰勒级数展开并取一阶近似，得到近似线性规划问题。

c.在所得近似线性规划问题上增加一组限制步长的线性约束条件。因为线性近似通常只是在展开点有较高的近似程度，故需要对变量的取值范围加以限制。增加的约束条件为，然后求解该线性规划问题，得到最优解Xk+1。

d.检验Xk+1对于原约束是否可行。若可行，则转步骤 e；否则，缩小步长限制，令 δk+1=γδk，返回步骤c，重新求解当前的线性规划问题。

本文目标函数和约束条件对应为式（3）、（4），步长缩小系数选取为0.5。步长缩小系数过大会导致迭代次数太多，收敛慢，选择过小可能导致结果不收敛，本文误差ε各分量允许值为0.0001。

4 设备暂降失效率评估方法

IEC61508规定：失效是功能单元失去实现其功能的能力；在执行功能时，某些特定行为是不允许的，这些行为的出现就是失效；按严重程度，可将失效分为完全失效和部分失效。因此，针对实际中设备可能完全故障，可能不完全故障，用失效率定量度量事件。

根据样本和图2进行的样本分类，可分别定量估计由随机性、模糊性和交叉不确定性引起的设备失效率。假设这3类样本在总样本中的比例分别为w1、w2和 w3，求得的设备失效率分别为 mz、my、md，则设备总失效率为：

设备电压暂降引起的失效率具体评估方法如下：

a.根据实测样本，确定敏感设备VTC不确定区间的边界值；

b.由实测样本数据获得耐受能力样本，得到混合熵模型的约束条件；

c.最大化混合熵值，得到设备VTC概率分布和故障程度隶属度；

d.对样本分类，分别求取3类样本造成设备的失效率；

e.结合各类样本所占比例，用式（8）求设备总失效率。

5 算例分析

5.1 样本实测结果

用Fluke 6100A和线性功率放大器作电压暂降源，以2%电压幅值和5 ms持续时间为步长产生扰动，对PC机进行测试，得到不同工况下PC机响应的散点图，如图3、4所示。

可见，设备全速运行时，VTC的不确定性区间为0.075～0.095 s、47%～55%；待机状态时，不确定性区间为 0.105～0.135 s、41%～49%；运行状态处于两者之间时，不确定性区间也位于相应不确定性区间之间。因此，该设备VTC的不确定性区间为0.075～0.135 s、41%～55%。表1为设备耐受能力的不确定区间结果。

5.2 评估结果与现有方法比较

仿真结果表明，选取样本越多，结果与实际越接近。当样本数为80时，就已可确保误差在10%以内。将本文方法与随机法、模糊法进行比较，结果如表2所示，表中幅值为标幺值，α为实测设备失效率，β为评估结果，相对误差s定义为：

图3 计算机全速运行时实测耐受能力散点图Fig.3 Scatter diagram of tolerance level of PC in operation

表1 设备VTC的不确定区间Tab.1 Uncertainty region of equipment VTC

图4 计算机待机状态下实测耐受能力散点图Fig.4 Scatter diagram of tolerance level of PC in standby

由表2可见，由于随机法认为设备仅存在正常与完全失效2种状态，忽略了中间状态，因此评估结果偏严重；模糊法忽视了设备工作状态、带负载的随机性，因此出现欠估计；而本文方法全面考虑了随机性、模糊性和交叉不确定性，因此结果更符合实际。

表2 PC待机状态下设备电压暂降敏感度评估与实际测试结果比较Tab.2 Comparison of voltage sag sensitivity of PC in standby between evaluation and test

6 结论

a.从设备电压暂降失效事件的物理本质出发，用随机性、模糊性和交叉不确定性综合描述设备失效状态，更符合客观事实。

b.用混合熵刻画设备失效事件的复杂不确定性，并用最大混合熵模型定量确定失效概率和失效严重程度，使复杂不确定性问题可以得到定量解决。

c.用实测样本验证了本文方法的正确性、可行性，并与现有方法比较证明，混合熵评估方法能综合考虑设备失效事件的发生与失效严重程度的不确定性，且评估结果更符合实际。

本文提出的方法不仅可用于解决电压暂降引起的设备失效事件的复杂不确定性评估问题，对于分析和刻画电力系统中诸多不确定现象具有一定参考价值。针对不同物理现象，不确定变量和混合熵模型中的约束条件选取还需进一步研究。