刘艳艳，张临杰

（中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛266100）

0 引言

本文考虑具有对流项的抛物型方程的初边值问题

且满足积分超定的附加条件

方程（1）表示具有对流项的线性热传导方程，通常用来描述自然界中扩散现象、生物数学及生态现象等［1］，其中qux表示对流项。上述问题（1）～（4）中，已知的问题称为此类偏微分方程的反问题。通常无法保证解的适定性是求解偏微分方程反问题面临本质性的实际困难。由于此类反问题有着广泛而重要的应用背景和鲜明的新颖性与挑战性，且对它的研究具有巨大的经济效益和社会效益，因此吸引了国内外许多学者从事该领域的研究。

最近，关于此类偏微分方程反问题中适定性问题的研究较活跃。当方程不带对流项且所有的系数与t无关时，文献［2－4］中作者利用抽象的半群理论得到了反问题的适定性结论，且已推广到拟线性抛物型问题［5］。但是大部分问题只涉及到局部解，而关于整体解的适定性问题的结论甚少。文献［6－7］中作者利用一些积分和Sobolev不等式证明了全局解的适定性；文献［8］中作者利用解的位势论表示定理，得到了古典的全局解。受上述文献启发，本文主要研究带对流项的抛物型方程反问题中如何确定Holder类意义下的光滑函数对（u，p），并将证明（u，p）的确定是适定的。

1 预备知识

2 主要结论的证明

定理1的证明 令u0＝φ（x），函数对（um，pm）（其中m＝1，2，L）满足

所以，通过上面的分析得到的函数对（u，p）是原问题的局部唯一解。

因为（12）中常数c和ε的选择，都与初边值条件和t无关，所以如果把u（x，ε）作为初始条件，从t＝ε开始重复上面的分析，可得到时满足原问题的函数对（u，p）。

有限次的重复上面的过程，定理1即可得证。定理2的证明 分两步

3 结语

本文主要研究带对流项的抛物型方程反问题中如何确定Holder类意义下的光滑函数对（u，p），并且证明了（u，p）的确定是适定的。对更一般情形的研究，如二维、三维情形，混合初边值问题或非齐次项更加复杂的情形，由于方程的结构变的更复杂，因此证明此种方程反问题的适定性将更加困难。然而，作者希望此种方法和其它方法相结合解决前述的更一般情形，并且能够取得令人满意的结果。

［1］ Vazquez J L.The porous medium equation：Mathematical theory［M］.England：Oxfo Scie，2007.

［2］ Prilepko A I，Orlovskii D G.Determination of the evolution parameter of an equation and inverse problems of mathematical physics［J］.I Diff Eqs，1985，21：119－129.

［3］ Prilepko A I，Orlovskii D G.Determination of a parameter in an evolution equation and inverse problems of mathematical physics［J］.II Diff Eqs，1985，21：694－701.

［4］ Rundell W.Determination of an unknown nonhomogeneous term in a linear partial differential equation from overspecified boundary data［J］.Appl Anal，1980，10：231－242.

［5］Cannon J R，Lin Y.Determination of a parameter p（t）in some quasilinear parabolic differential equations ［J］.Inverse Problems，1988，4：35－45.

［6］ Cannon J R，Lin Y.An inverse problem of finding aparameter in a semilinear heat equation［J］.J Math Anal Appl，1990，145（2）：470－484.

［7］ Lin Y.An inverse problem for a class of quasilinear parabolic equations［J］.J Math Anal，1991，22（1）：146－156.

［8］ Prilepko A I，Solo’ev V V.Solvability of the inverse boundary value problem of finding a coefficient of a lower order term in aparabolic equation［J］.J Differ Equations，1987，23（1）：136－143.