姜兆敏

（江苏理工学院 数理学院，江苏 常州 213001）

0 引 言

关于求微分方程近似解的分析方法很多，如摄动法、同伦分析法、同伦摄动法、变分迭代法、Adomian分裂算法等。其中，变分迭代法已经被成功地应用于解决各种线性、非线性问题［1－4］，许多研究者还对其进行了改进［5－6］，变分迭代法对求微分方程的近似解、精确解是一种很有效的方法。

文中主要考虑用变分迭代法求解如下n阶线性常微分方程的初值问题

其中，a0（x），a1（x），…，an（x），f（x）为连续函数。初值条件

1 变分迭代法

为了阐明变分迭代法的思想，以下面形式的非线性微分方程为例说明

式中：L——线性算子；

N——非线性算子；

g（x）——连续函数。

方程（1）的校正泛函可表示为

式中：λ（t）——拉氏乘子，可以用校正泛函取驻值的条件来确定；

yn（x）——方程（1）的n阶近似解；

2 应用举例

例1 考虑一阶线性微分方程

初值条件

方程（3）的校正泛函为

对式（4）进行变分，得

得到驻值条件：

于是可以识别拉氏乘子λ＝－1，将其代入式（4），得到以下迭代公式

取初始近似解y0（x）＝0，应用迭代公式（5），通过计算得：

由于

所以

此为所求常微分方程初值问题的精确解。

例2 考虑二阶线性微分方程

初值条件：

方程（6）的校正泛函为

对式（7）进行变分，得

得到驻值条件

于是可以识别拉氏乘子λ＝t－x，将其代入式（7），得到以下迭代公式

取初始近似解y0（x）＝x，应用迭代公式（8），通过计算得：

此为所求常微分方程（6）初值问题的精确解。

例3 考虑二阶柯西－欧拉方程

初值条件：

令

即

初值条件：

同例2，对方程（10）应用变分迭代法，得到以下迭代公式

取初始近似解

应用迭……