石 茂

（陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西 西安 710062）

非均匀有理B-样条参数曲线(NURBS)是计算机辅助几何设计和计算机图形学的主要数学工具之一。它不仅可以精确表示二次曲线，还可以通过权因子ωi调控曲线的形状。给定节点向量u={u0,u1,…,un}，权因子向量ω= { 1,ω1, … ,ωn-1,1}及其控制顶点pi,0≤i≤n，p次NURBS曲线可递归定义为[1]

其中Ni,p(u)是p次B样条基函数，且有如下递归定义：

其中(u)可以看成是关于权因子ωi的函数族。到目前为止，虽然对权因子ωi→+∞时，NURBS参数曲线的收敛性有了一些重要的结果，但是，依旧没有一个比较权威的结论。Pigel在文献[2, 3]中指出有理参数曲线的极限为 3个点，但是，在文献[2]中又给出其几何意义为两条线段ipp0和nipp。虽然这一结论令人困惑，但已被几何设计和计算机图形学界广为接受[4,5]，并被推广到了NURBS曲线上[6-9]。在文献[10]中，虽然指出有理参数曲线具有逐点收敛和非一致收敛性;但是在一般情况下，逐点收敛并不能推出L1收敛[11]，而L1收敛则能很好的解释收敛曲线为线段p0pi和pipn这一问题。因此，对有理参数曲线的L1收敛的研究是很有必要的。本文在文献[12]的基础上给出 NURBS参数曲线关于某一权因子ωi→+∞时的收敛性分析。全文用到的逐点收敛，一致收敛，L1收敛和拓扑同胚等相关概念。读者可以查阅本文给出的相关参考文献[13-15]。不失一般性，本文仅仅考虑u∈ [ui,ui+1]区间上的一条NURBS曲线。

1 非一致收敛

引理1 有理基函数是关于权因子iω逐点收敛的，而不是一致收敛的。

证明：由

可得命题成立。

引理2 给定2个固定常数c,d∈R，u＜c＜d＜u。那么(u)在u∈ [c,d]上是关

ii+1于权因子ωi一致收敛的，且(u)⇒1，其中“⇒”代表“一致收敛”。……