刘阜平， 丁 勇

（太原理工大学，山西 太原 030024）

椭圆、抛物线和双曲线，可以通过同一对对应的二射影线束相对运动来形成[1]。与其相对应，椭圆柱面、抛物柱面和双曲柱面，也可以通过同一对对应平行的二射影面束相对运动来形成。那么圆锥面、单叶双曲面和双曲抛物面呢？我们都知道，斜椭圆锥面无轴线[2]，是否有圆截口？如果没有圆截口，原因是什么？为什么单叶双曲面[3]的截交线是抛物线、双曲线和椭圆，与圆锥面的截交线种类相同？这些问题都可以通过对二射影对应面束的相对运动，合同线束所在截平面位置等问题的讨论来回答。

1 二射影对应面束的两对合同线束作图法

如图 1所示，二射影对应面束l1(A1α,B1α,C1α…),l2(A2α,B2α,C2α…)，如果分别取垂直于底l1l2的平面T1αT2α截切，得到对应线束L1(a1,b1,c1…),L2(a2,b2,c2…)，如果l1l2平行，移动共底后二线束L1L2成椭圆形对合，也就是二面束l1l2成椭圆形对合。如图2所示，二线束L1L2的两对主直线m1m2和n1n2两对“等角线”x1x2和y1y2以及反映二线束度量性的α角与二面束相对应。

图1 二射影对应面束示意图

图2 二线束成椭圆形对合

与二射影线束不同的是，二射影对应面束存在两对对应合同线束。如图3所示，如果我们把共底成椭圆形对合的二面束其中之一l1（或l2）沿某一主平面移动，其对应平面的交线形成椭圆柱面，垂直于底的椭圆截面长短轴比与二面束的α角是相关的。显然，该椭圆柱面可以得到两个圆截面Rα和Sα。在Rα和Sα上，存在两对对应合同线束。为了叙述方便，我们可以称存在合同对应线束的平面为“圆面场”。……