陈 丹，陈 东

(1.成都大学信息科学与技术学院，四川成都 610106;2.成都大学工业制造学院，四川成都 610106)

具次临界扰动项的非线性Hartree方程驻波的存在性

陈 丹1，陈 东2

(1.成都大学信息科学与技术学院，四川成都 610106;2.成都大学工业制造学院，四川成都 610106)

研究了一类具次临界扰动项的非线性Hartree方程驻波解的存在性.根据2个非线性项的特征，分2类情形建立相应的约束变分问题，得到了该类Hartree方程在2种情形下驻波的存在性.

Hartree方程;驻波;存在性

0 引言

本研究考虑如下具非局部非线性项和次临界扰动项的非线性Schrødinger方程，

式中，△ 表示RN上Laplace算子，φ(t，x):R+×RN→C为复值函数，* 是RN上标准卷积.

本研究均定义C为任意正常数.为方便起见，不特别说明的情况下记·dx=∫·dx.

记式(2)的极小子构成的集合为Λ，则对任意u∈Λ，存在Lagrange乘子ζ∈R使得u是如下椭圆方程的解，

这里，φ(t，x)=eiζtu是方程(1)的一个驻波解.由于u是式(2)的极小子时，故eiζtu是u的轨道.

此外，定义Nehari流形，

约束变分问题，

驻波即是形如，φ(t，x)=eiωtu(x)，的方程(1)的解，其中，u是以下不动方程的基态解，

定理1(驻波的存在性) 在以下2种情况下，

方程(1)都存在如下形式，φ(t，x)=eiωtu(x)，的驻波.

1 预备知识

H1(RN)=W1，2(RN)是以 ‖φ‖2=∫(|▽φ|2+|φ|2)dx为范数的标准Sobolev空间.柯西问题(1)的局部适定性如下:

①质量守恒.

②能量守恒.

这里，常数C＞0.

引理3［5］设u*是u的Schwartz对称函数，则对1＜p＜∞有下列4式成立，

引理 4 设 φ0∈H1(RN)，|·|φ0(·)∈L2(RN)，φ(t，x)是柯西问题(1)的解.令J(t):=∫|x|2|φ|2dx，则，

利用文献［6］中的方法，引理3可方便得证.在这里省去证明过程.

2 驻波的存在性

首先考虑定理1的情况①.

证明 首先定义极小化问题，

式中，Ω-:={u∈H1RN):∫|u|2dx≤M}.

第一步.设{un}n∈N∈H1且，

显然，un≠0.令是un是Schwartz对称函数，由引理3有∈Ω-，且{}是的最小……