黄 娟，陈 丹

(1.四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都 610066;2.成都大学信息科学与技术学院，四川成都 610106)

一类非线性椭圆方程的Nehari流形

黄 娟1，陈 丹2

(1.四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都 610066;2.成都大学信息科学与技术学院，四川成都 610106)

研究了一类非线性椭圆方程的Nehari流形，并运用加权Sobolev空间的嵌入定理和齐次特征值问题的性质，分析了Nehari流形与fibrering映射的关系，进而讨论了Nehari流形的性质，运用这些性质还可得到该非线性椭圆方程正解的情况.

Nehari流形;变分方法;加权Sobolev空间

0 引言

本研究考虑一类非线性椭圆方程，

(a，Ω)是以a(x)为权函数的加权Sobolev空间，其范数是.权函数a(x)满足，

其中，c1≥1，v也是一个权函数且满足，

对于方程(1)，当 a(x)≡ 1，p=2时，Amann等［1］运用全局分歧理论研究了方程在二阶Laplacian算子为自共轭算子时的正解的存在性和重度问题;当a(x)≡1 时，Binding［2，3］等运用变分方法研究了方程的正解和多解的存在性问题.在此基础上，本研究将运用文献［4］中的方法，得到方程(1)的Nehari流形的性质，进而讨论了方程(1)正解和多解的存在性问题.

令λ1(b)是方程，

的第一特征值，且其对应的特征函数为≪1［6］.进而，本研究的主要结论为:

定理1

①当0＜λ＜λ1(b)时，方程(1)存在一个正解;

1 Nehari流形的性质

考虑方程(1)的Euler函数，

为了得到存在性结论，引入Nehari流形，

因此，u∈S当且仅当∫Ω(a|▽u|p-λb|u|p)dx-∫Ωc|u|α-1dx=0.显然，Jλ的临界点在S上，并且S上的局部极值即是Jλ的临界点.此外，为了方便起

见，用∫·dx表示∫Ω·dx.

在S上考虑Jλ，则有，

对于Nehari流形，它与映射≪u:t→Jλ(tu)(t＞0)有密切的关系，如果u∈X，则，

显然，u∈S当且仅当≪u'(1)=0.更为一般的，如果≪u'(t)=0当且仅当tu∈S.也就是说，S中的……