广东省惠州学院数学系 林鸿德 （邮编：516007）

数列是初等数学和高等数学的一个重要衔接点，是历年高考必考的重点内容之一.以近几年广东试题看，既有选择题或填空题，又有综合题.但是从历年高考考试情况反映，数列综合题是大部分考生认为较难的题型.以下通过对近两年高考广东卷理科数学数列综合题进行比较分析，讨论高考数列的命题目的和考查意向，希望能给中学数学教学一点启示.

1 试题呈现

（1）求a2的值；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

试题2 （2012年广东卷理数，19）设数列｛an｝的前n项和为Sn.满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N＊，且a1，a2＋5，a3成等差数列.

（1）求a1的值；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

2 解法探析

对于问题1和问题2的第（1）问都较为简单，目的是为考生增加得分机会，也为后续解答增加信心，体现试题的人文关怀.容易得到试题1中a2＝4及试题2中a1＝1，试题的难点在第（2）问和第（3）问，其中关键是对通项公式的求解.

探究1 构造法

根据2an＝2Sn－2Sn－1（n≥2），得

评析 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，构造与之相关的辅助模型，使陌生问题转化为熟悉问题来求解.构造法是解决数列问题的一种重要方法.经常把一个递推关系式构造成熟悉的等差或等比数列问题来求解数列的通项公式，使问题得到简化.

探究2 数学归纳法

同理，令n＝2，得a3＝9＝32；

令n＝3，得a4＝16＝42.

猜想：an＝n2.再用数学归纳法证明（略）.

试题2 由条件可得a1＝1；an＋1－3an＝2n，从而得a2＝3a1＋2＝3＋2＝32－22

依此类推，则a3＝3a2＋22＝3（3＋2）＋22＝32＋3×2＋22＝33－23；

a4＝3a3＋23＝3（32＋3×2＋22）＋23＝33＋32×2＋3×22＋23＝34－24.

猜想：an＝3n－2n.再用数学归纳法证明（略）.

评析 数学归纳法是中学数学中一种常用的论证方法.它在一些较难的问题中发挥着重要作用.常用来处理和自然数有关的数学命题.如数列通项公式的求解问题，可通过观察——归纳——猜想——证明的过程来求解.有利于培养学生观察、猜想与归纳的合情推理能力.

探究3 放缩法

评析 数列不等式的证明是高中数学教学的重点和难点，也是高考考查的热点，多数以压轴题的形式出现.证明此类不等式最常用的方法就是放缩法.在数列不等式的证明中经常把普通数列的求和放缩化归为等差、等比数列等可求和的数列来求解，这样就可求出其前n项和，通过这个和的桥梁作用来完成证明.

3 命题分析

从命题角度看，两道题所考查的基础知识有所不同，但考查的数学基本思想、基本能力是一致的，注重对分类、整合思想和化归思想的考查，注重对推理论证能力和运算求解能力的考查，展现了数学的科学价值和人文价值.

（1）分类与整合思想

在数学问题中，有些问题含有多种可能的情况，难以对它进行统一处理时，只能按其出现各种情况分类进行讨论，旨在化大为小，化小为了.在数学活动中，分类好比指南针，它能给我们指明方向.分类讨论思想贯穿于高中数学的全过程，不仅能迅速地找到解决问题的切入点，还起到了搭建解决问题的总体框架的作用，使人们在清晰的逻辑结构中再逐一地解析每一个具体问题.

在运用数列通项公式与前n项和的关系时，应当讨论n＝1和n≥2的情况.就这两道试题来看，都需要对n进行讨论，在形成分类讨论的步骤以后，还要切勿忘掉整合这一步.只有完成上述两步，才算完成了分类与整合的完整过程.这是大部分考生容易出错的地方，因此，在平时的练习中就应该养成细致认真的好习惯.

（2）化归思想

在中学数学中，分析、处理和解决问题时，总是将较复杂的问题向易解决的方向转化，将陌生的问题向熟悉的问题转化，即化繁为简、化难为易、化未知为已知等.一般来说，化归思想主要体现于运用数学方法处理和解决数学问题的过程之中.在数学教学中，充分利用化归思想，有利于学生构建知识体系，强化其解决数学问题的应变能力，发展其数学思维能力.

在利用构造法和放缩法求解数列问题时，体现的正是化归思想.在中学数学中，等差数列和等比数列是要求掌握的两类基本数列，其他的大部分数列都是通过转化为这两类数列来处理的.如试题1是转化为等差数列来求解，而试题2是转化为等比数列来求解.另外，对于数列的求和，则通过放缩化归为特殊的数列求和来求解.如试题1将其放缩为两项的积的形式，再利用裂项相消法求和并完成证明的目的.试题2则是通过放缩化归为等比数列求和的形式，再利用公式求和.

（3）推理论证能力

推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成.论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方式划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.

在运用数学归纳法求解数列通项公式时，先通过数列的前几项运用合情推理的方法对数列的通项公式进行猜想，然后再运用演绎推理的方法对猜想的通项公式进行证明.这是数列中常用的一种方法，是高中生应当熟练掌握的一种处理问题的方法.

（4）运算求解能力

运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.

运算求解能力是解决数学问题的基本能力，对它的考查成为高考命题者控制题目难易程序的主要手段.“错解”往往是“错算”结出的苦果.在上述试题中要特别注意的是裂项相消法中消去之后剩下的项，这是学生容易出错的地方.因此，在平时学习中，要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.

总之，从近两年高考数列的命题上看，突出基本数学思想方法，强化能力立意，有效地发挥了考试的选拔性功能.

4 教学反思

经过上述分析发现，两道试题作为高考的综合题，不需要高深的数学知识和方法就能解决，都是对基本概念、定理和基本思想方法进行考查，以及对综合分析能力的考查.从高考的命题角度给我们的教学带来一定的启示：

（1）重视基础知识的理解

根据课程标准的要求，坚持了对数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查，其中强调注重对知识内在联系的考查，这就要求我们的教学应注意基础知识的内在联系.这是不少教师教学中比较缺乏的，易造成教学中重点把握不住，一味地强化训练，其效果不佳.因此，教师要理解所教基础知识在高中阶段、本章、本节、本课的地位以及重要性，理解所教基础知识的掌握程度，理解所教基础知识的多方向延伸的出发点，以及可能的生长方向，做到这样，基础知识的训练才能有度，才能有效，才能达标.

（2）切实认识基本技能的本质

基本技能的水平高低，决定于基础知识掌握的熟练程度.提高基本技能的运用水平就是多练.但仅是一方面，有时即使练得再多，基本技巧的运用水平还是难以提高.其中主要原因是没有理解基本技巧的本质，如求解数列的通项公式有很多种方法，如倒数法，很多学生根本不理解倒数法的作用是什么.因此，在教学时，更要注重引领学生理解基本技巧的作用.

（3）渗透数学基本思想方法

高中数学教学是贯穿数学思想方法的教学.数学教育家傅仲孙先生说过：“思想方法为经，教材知识为纬.”在实际教学中，许多教师却往往忽视数学思想方法的教学，或者觉得太虚空，无法准确把握.这实际上是对数学思想方法认识不到位的体现.学好数学，不等于拼命做习题、背公式，而是着重领会数学的思想方法和精神实质，了解数学在文明发展中所起的关键作用，自觉接受数学文化的熏陶.只有这样，才能从根本上体现素质教育的要求，并为全民族思想文化素质的提高夯实基础.因此，在教学的过程中，不能只注重解题训练和题型归纳，要重视对数学思想的培养，它蕴含在数学知识的产生、发展及运用的全过程中，需要在平时教学中时刻渗透，适时地引导学生梳理总结，逐个认识其本质特征和思维特点，主动地、有意地将这些思想方法渗透到解题过程中去.

（4）注重数学能力的提高

命题者以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中的能力.在教学中，不应追求数学解题中的“技巧”，不搞“偏题”、“怪题”.将最基本的数学方法进行提升和巩固，突出思维能力和运算能力，及时引申拓展、培养归纳能力，这样学生在高考中才可以达到融会贯通、高屋建瓴的境界.

总之，在数学教学中，教师应当善于将知识纵横联系，加强学生对数学思想的提炼和应用，注重培养学生的思维能力以及分析问题和解决问题的能力.

1 严士健.普通高中数学课程标准（实验）解读［M］.南京：江苏教育出版社，2011

2 李善良等.高中新课程问题与对策：数学［M］.上海：上海教育出版社，2012

3 涂荣豹等.新编数学教学论［M］.华东师范大学出版社，2011

4 林生.平稳中重基础 朴素中透灵气 常规中见真功——2012年高考数学广东卷试题评析与备考建议［J］.中国数学教育，2012，20：27－30

5 左伟群，刘秀湘.稳定题型难度，凸显双基观念——2013年高考数学广东卷试题与答卷分析［J］.中学数学研究，2013，8