刘 玥，荆武兴

(哈尔滨工业大学 航天工程系，150001 哈尔滨)

从上个世纪60年代开始，火星逐渐成为了太阳系内除月球之外最吸引各国学者研究的天体之一.最近的几年，欧洲和美国先后发射了多颗火星探测器，在全球又掀起了新一轮的火星探测竞赛，中国、印度等国家也相继提出了自己的火星探测计划.火星是太阳系内与地球最相似的行星之一，但其质量较小，引力系数只有地球的10.7%，因此火星表面逃逸速度也只有不到5 km/s.传统的火星探测方式使用Hohmann 过渡的方法将探测器发射至火星附近，其双曲进入轨道剩余速度达到了2.8 km/s 以上，探测器必须克服这一剩余速度使自身成为火星卫星［1－3］.若如此，则需要发动机长时间开机进行制动，很大一部分燃料将消耗在制动过程中［4－5］.另外，火星探测任务需要预定的工作轨道，制动过程应尽量将飞行器精确送入预定工作轨道，否则还将进行复杂的变轨过程，进一步消耗燃料.为此，需要优化近火点制动推力策略，在节约探测器燃料的同时，使探测器精确进入目标轨道，提高了探测器在轨寿命，使后续任务得以顺利完成［6－7］.

火星探测器近火点制动问题可以归结为1 个两点边值最优控制问题，对于此类问题的解决，一般采用极大值原理.极大值原理的实质是求取1 个控制策略，使系统的Hamilton 函数达到极大值，这种方法的优点在于可以精确求取连续时间内的最优控制策略［8－9］.在轨道控制方面，极大值原理被广泛应用于燃料、能量最优轨道转移、轨道修正与保持，交会对接等轨道控制任务中［10－12］.但是其极大值原理存在一些问题，就是需要计算共轭变量，并且共轭变量的初值需要猜测和迭代计算.由于其没有具体的物理意义，共轭变量初值的猜测往往很困难，容易造成迭代不收敛，降低了极大值原理求解问题的效率.

本文利用虚拟卫星方法，以最省燃料为优化指标，求解火星探测器近火点制动的推力策略，并且在使用极大值原理求解两点边值问题时，将共轭变量转化为有实际物理意义的变量进行猜测，使得迭代初值的选取变得简单［13］.计算结果显示，该策略可以在最省燃料的条件下将探测器精确送入预定工作轨道，并且边界条件非常简单，迭代易于收敛.

1 虚拟卫星法原理与模型

本文使用虚拟卫星法求解最优制动策略.如图1 所示，轨道I 为探测器初始轨道，S 为探测器，轨道II 为目标轨道.假设轨道II 是1 颗虚拟卫星S1运动形成的1 条轨道，为了使探测器转移到目标轨道，只需要求解控制策略，使S 与S1的相对位置和速度均为0 即可.此方法称为虚拟卫星法［14-17］.

图1 虚拟卫星法示意

图1 中，建立交会坐标系S1-xy，以S1为坐标原点，S1-y 轴指向火心，S1-x 轴垂直于y 轴并指向前进方向，由于变轨时间只有数十分钟，所以可忽略摄动力的影响，S 和S1的动力学方程分别为

其中:R、r 分别为S1和S 相对于火心的位置;μm为火星的万有引力常数;F 为发动机推力;m 为探测器总质量.

假设S1的真近点角为θ1，与x 轴同向的单位向量为I，与y 轴同向的单位向量为J，S 相对于S1的位置矢量为ρ，S 在S1-xy 系中的坐标为(x，y)，则有如下关系:

由旋转矢量的微分公式

将R=-RJ 带入得到分量形式的动力学方程

式中Fx、Fy为推力F 的分量，eI、pI、hI分别是目标偏心率、目标半正焦弦和目标轨道角动量.

此模型的优越性在于终端条件极其简单，因为探测器与虚拟卫星的终端相对位置和速度只需为零.

2 探测器状态方程

假设在［t0，tf］内发动机持续工作，探测器质量变化即成为已知函数

探测器动力学方程可以用状态方程的形式表达如下:

下面推导初始状态与真近角的关系.设A 点在初始轨道上对应的真近角为Ω，在目标轨道上对应的真近点角为ΩI，点火初始时刻，探测器的真近角为θ(t0)，虚拟卫星的真近角为θI(t0)，令

称α 为点火角，顺轨道测量为正.不难得到

设真实卫星和虚拟卫星的飞行路径角分别为γ 和γI，则在S1-xy 坐标系上

利用如下关系:

得到相对速度的表达式

其中e，p，h 分别为轨道I 的偏心率、半正焦弦和轨道角动量;eI，pI，hI分别为轨道II 的偏心率、半正焦弦和轨道角动量;σ=θI-ΩI+Ω，ωI=hI/R2.

以上两组式子确定了真近角与探测器的初始状态之间的关系，任意确定一组出事的θ，θI，即可确定唯一与之对应的一组初始状态x，y，，.

3 最省燃料推力方向

最省燃料控制问题可表述为:求取合适的X(t0)，V(t0)，θI(t0)和推力方向策略u(t)，使得系统在t=tf时，X(tf)=V(tf)=0，θI无约束.且使最优指标

达到最大值.由Pontryagin 极大值原理，此指标极大与探测器剩余燃料质量极大是等价的.

当X(t0)，V(t0)，θI(t0)均为给定值时，上述最优控制问题即为1 个两点边值问题，但是其初值是由探测器与虚拟卫星的真近点角θ 和θI共同确定的，而事实上，探测器初始点火位置的选择是任意的，即初始真近点角θ 可以取任意值，而虚拟卫星初始位置同样可以任取.所以，最优指标可以表达为

θ(t0)，θI(t0)允许在(-π，π)上变动，于是求解上述问题将分为两部分，最优控制的求取与参数优化，应用极大值原理，可以将其统一为1 个参数优化问题.

系统的Hamilton 函数定义为

其中λx，λv，λθI分别为X，V，θI的共轭状态.

由Pontryagin 极大值原理，求解的推力矢量方向u(t)应使Hamilton 函数H 达到极大，可得

可见，速度共轭矢量λv的方向可以决定最优推力方向.

系统协状态方程如下:

如果已知θ(t0)，θI(t0)，λx(t0)，λv(t0)，λθI(t0)，则最优推力矢量方向u(t)就可以唯一确定，因此只需求解参数优化问题即可解决上述最优控制问题.

4 横截条件与迭代变量的选择

前一节指出，需要确定5 个参数即可求出最优推力方向，其中θ(t0)，θI(t0)具有实际的物理意义，但是另外3 个参量没有实际意义，很难猜测初始值，这是Pontryagin 极大值原理固有的缺陷，下面将给出在本文背景下解决此缺陷的方法.

由前文可知，只要已知x，θI，另外的初始状态就可以确定，因此这些初始状态并不是相互独立的，还应存在3 个约束条件.由式(2)，Δα 可表示为θI和x 的函数，从式(1)和(2)可以得出3 个初始状态约束条件:

终端条件为

由上述条件，根据变分法原理，可以得到共轭协状态的初始和终端条件为

其中k1，k2，k3为待定拉格朗日乘子.则共轭变量初值的猜测可转化为对拉格朗日乘子初值的猜测，但这些变量初值仍然难以猜测，所以要进一步分析.

由式(4)、(7)可以看出，k2，k3与初始推力方向有如下关系:

如用推力仰角φ 表示U(规定推力方向与oy轴成锐角时为负)，则

如果不考虑质量变化，由极大值原理，在初始时刻应有‖λv(t0)‖=1，实验证实，考虑质量变化时将有较小的变化，一般不超过± 1，所以‖λv(t0)‖和具有物理意义的推力仰角初值φ 可以代替k2，k3作为迭代初值.

由式(5)可得

由于ωI的数值比较小，代入协状态的表达式可以发现，推力方向变化率的初始值主要由k1决定，一般来说，希望推力方向(与λv(t0)有关)变化较平稳，所以可取k1≈0 作为初始猜测.

综上所述，迭代变量的初始猜测值可选择为θ(t0)，θI(t0)，φ，‖λv(t0)‖和k1.

在最优轨迹末端，哈密顿函数应满足:H(tf)=0，由式(3)、(6)、(7)可得到‖λv(tf)‖=1.至此可以看出，5 个迭代变量有3 个是具有实际意义的量，另外两个可以有较为确定的猜测值，为迭代算法的收敛性打下了良好的基础.

5 仿真算例分析

考虑火星探测器初始质量为500 kg，携带490 N 发动机一台，比冲为290 s.假设探测器预定工作轨道为一共面椭圆轨道，近火点高度为300 km，偏心率为0.5.迭代初值选择如表1 所示.

表1 迭代初值选择

图2 迭代残差变化

迭代最终结果显示，发动机工作1 253 s，探测器质量m，真近角θ，虚拟卫星真近角θI，探测器轨道偏心率e 和近火点高度Hp的计算结果列于表2.

表2 计算结果

真实卫星与虚拟卫星的终端位置误差为0.37 m，速度误差约为10－3m/s.可见，使用本文中的算法可以达到将探测器一次精确送入工作轨道的目的.推力仰角随时间的变化规律如图3 所示，探测器与虚拟卫星在惯性系下的轨迹如图4所示.

图3 推力仰角变化规律

图4 探测器飞行轨迹

由图3 可以看到，发动机推力仰角随时间的变化近似为线性的，变轨过程中姿态控制比较容易.由图4 可以看到，探测器在最优推力的控制下，其轨迹最终与虚拟卫星轨迹重合，两者实现了软交会，即完成了精确入轨过程.

综上所述，利用虚拟卫星法求解火星探测器近火点制动推力策略是可行的.在实际计算过程中，如果考虑各种摄动因素，如大型天体引力摄动，火星非球形摄动等，结果的收敛性也很好，迭代均能在10 次以内收敛，说明该方法对于模型的误差有一定的鲁棒性.但是，此方法仍然有局限性.例如，由于假设发动机一直开机，所以一般情况下，该方法只能处理1 次入轨的情况，若要处理多次入轨的情况，则需要设定一些过渡轨道，多次变轨，其间分别使用虚拟卫星方法;另外，虚拟卫星方法的收敛性与发动机推进效果相关，若换装更小推力的发动机，或者增加飞行器的初始质量，则会导致制动时间增加、收敛范围变小.经大量仿真验证，对于本文中所使用的490 N 发动机，虚拟卫星方法可以满足初始质量在1 200 kg 以内的飞行器进行近火点制动，且迭代收敛性较好.

5 结论

本文利用虚拟卫星法设计火星探测器近火点制动的最优推力方向策略.采用Pontryagin 极大值原理求取燃料最优指标下的最优推力方向，并且给出了协状态的选择方法以使迭代易于收敛.通过优化的制动策略使真实卫星与虚拟卫星实现“软交会”，达到精确制动入轨的目的.所选用的虚拟卫星方法收敛性好，对模型具有一定的鲁棒性，对迭代初值不敏感，可以适用于一般的常规推力近心点制动任务.

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