陈向民，于德介，李 蓉

（湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，湖南 长沙 410082）

引 言

变速齿轮箱是机械系统中的重要部件，因其工作环境恶劣，且常处于变载荷下运行，容易因疲劳磨损而发生局部故障。在实际生产中，故障往往不是单独出现的，某些故障常常会诱发其他故障的发生［1］，因此，对变速齿轮箱的复合故障进行研究具有重要的实际意义。

近年来，许多学者致力于机械系统中复合故障的研究，取得了较好的效果。常用的复合故障诊断方法主要有：基于小波的复合故障诊断方法、基于EMD的复合故障诊断方法、基于盲信号处理的复合故障诊断方法、基于形态分析的复合故障诊断方法、基于模式识别的复合故障诊断方法等［1～11］。上述方法主要是针对平稳振动信号，即恒定转速下的复合故障诊断，但在工程实际中，受工况、载荷变化等影响［12，13］，齿轮箱的转速为一时变量，而故障特征往往与转速相关，亦为一时变量，因而，需要预先对振动信号进行平稳化处理。

工程实际中常采用阶比跟踪方法来实现信号的平稳化［14，15］，其基本思想是将时域非平稳振动信号进行等角度重采样转化为角域平稳振动信号。常用的阶比跟踪方法有硬件阶比跟踪法、计算阶比跟踪法、基于瞬时频率估计的阶比跟踪法等［16～18］。其中，基于瞬时频率估计的阶比跟踪法因无需安装角度编码盘、转速计等硬件，近年来得到了广泛的关注。而在基于瞬时频率估计的阶比跟踪法中，其核心问题是如何从原始振动信号中准确地提取出转速信号。EMMANUE等近年提出了线调频小波路径追踪算法［19］，该算法通过对线调频小波图中的线调频小波原子进行连接，自适应的获得频率呈曲线变化的信号分量。由于该方法具有精度高、抗噪能力强等优点，能自适应地从振动信号中提取出转频信息。近年被引入机械故障诊断［20，21］。

针对变速齿轮箱复合故障的诊断问题，本文结合线调频小波路径追踪算法、阶次跟踪和能量算子解调［22］，提出了基于阶次解调谱的变速齿轮箱复合故障诊断方法。该方法先采用线调频小波路径追踪算法自适应地从变速齿轮箱原始振动信号中提取转速信号；然后利用该转速信号对原始振动信号进行等角度重采样，将时域非平稳信号转化为角域周期平稳信号；最后对角域周期平稳信号进行能量算子解调分析，根据阶次解调谱进行变速齿轮箱复合故障诊断。算法仿真和应用实例表明，本文方法能有效地提取出变速齿轮箱中复合故障的故障特征。

1 线调频小波路径追踪算法

线调频小波路径追踪算法采用的多尺度线调频基元函数库如下

式（1）定义的多尺度线性调频基函数在动态分析时间段内的瞬时频率为aμ＋2bμt。通过多尺度线性调频基函数对信号进行逐段投影分析，计算获得每个时间分析段I内的最大投影系数和对应的线调频基元函数，该基元函数即为在时间分析段I中与分析信号最为相似的频率成分。线调频基函数的多尺度特性使它具有动态匹配分析信号的特性，而基函数中包含的调频率信息则使其适合分析频率呈曲线变化的非平稳信号。

当信号与多尺度线性调频基函数越相似时，其投影系数也越大，基元函数的能量也越大，因此要找到一种动态分析时间段连接方法，在该连接方法下整个分析时间内连接的所有基元函数的总能量最大，即

Π覆盖整个分析时间段，不重叠，其对应的最大投影系数和基元函数分别为

Π的连接方法应保证在投影中使连接的基函数在整个分析时间段内的总能量最大，线调频小波路径追踪算法提出的连接算法如下：

（1）初始化。以i为时间支持区序号，为第i个时间支持区之前分解信号的总能量，pi为连接到第i个时间支持区的前置时间支持区序号，Eei为第i个时间支持区最大投影系数对应的分解信号的能量，初始化时，置

（2）对于动态分析时间段集合｛Ii，i∈Z｝中的每一个元素Ii，查找出与其相邻的所有下一个动态分析时间段集合｛Ij｝，即｛Ij｝中所有元素的起始时间与Ii相邻。如果

有

2 能量算子解调

具有时变幅值a（t）和时变相位ω（t）的AM－FM信号x（t）的一般表达式为

其能量算子定义为

对式（6）求导得

对式（8）求导得

同理可得

由式（10）和（11）可求出信号的瞬时幅值a（t）和瞬时相位ω（t）

3 基于阶次解调谱的变速齿轮箱复合故障诊断方法

齿轮、轴承作为变速齿轮箱的主要部件，在变速齿轮箱的机械传动中起着重要的作用。由于变速齿轮箱工作环境恶劣，且常处于变载荷下运行，齿轮箱中的齿轮、轴承容易因疲劳、磨损等出现局部故障。

当齿轮箱中的轴承内圈或外圈出现裂纹、点蚀等局部故障时，会产生周期性的冲击信号，其冲击出现的频率（调制频率）为内圈或外圈的通过频率［23］，内圈、外圈的通过频率计算公式分别如下

式中Z为滚动体个数，fr为轴的转频，d0为滚动体直径，D为节径，α为接触角。而当齿轮出现断齿、裂纹等局部故障时，会产生以啮合频率为中心，以转频为间隔的调幅调频信号［24］。

在工程实际中，齿轮箱中的故障往往不是单独出现的，某些故障常常会诱发其他故障的发生，从而出现齿轮箱复合故障。当变速齿轮箱同时出现齿轮局部故障和轴承局部故障时，由于齿轮故障调制频率和轴承故障调制频率不同，因此，可根据调制频率的不同实现对包含齿轮局部故障和轴承局部故障的变速齿轮箱复合故障进行诊断能量算子解调常用于解调分析，能有效地提取信号中的调制信息。相对于Hilbert解调，能量算子解调具有运算量小、解调精度高和响应速度快等优点［25，26］。但在变转速情况下，齿轮箱振动信号为非平稳信号，其故障调制信息亦为一时变量，因而，需预先对非平稳的变速齿轮箱信号进行平稳化处理。因此，本文方法先用线调频小波路径追踪算法从原始振动信号中提取出转速信号，再利用获取的转速信号对原始振动信号进行角域重采样，将时域非平稳信号转化为角域周期平稳信号，最后对角域周期平稳信号进行能量算子解调分析，根据阶次解调谱中的调制信息诊断变速齿轮箱复合故障，其算法流程框图如图1所示。

4 算法仿真

为验证本文方法对变速齿轮箱复合故障诊断的有效性，构造包含齿轮局部故障和轴承局部故障的

图1 算法流程框图Fig．1 The flow chart of the algorithm

式（16）中，x1（t）为被1倍频调制的调幅调频信号（如式（17）所示），以模拟变转速下的齿轮故障信号，模拟齿数为20，其信号波形图如图2（a）所示；x2（t）为周期性的瞬态冲击信号（如式（18）所示），以模拟变转速下的轴承故障模拟信号，其中，y（t）为单瞬态冲击信号，瞬态冲击的中心频率为1 200Hz，衰减系数为－800；u（t）为单位阶跃函数；xc（t）为轴承故障调制信号，轴承故障阶次为3．5，即轴承故障特征频率为转频fr的3．5倍；Max（·）表示取最大值；P表示xc（t）的最大值（即峰值）集合；tPi表示第i个峰值所对应的时间点。x2（t）的信号波形图如图2（b）所示。n（t）为0dB的高斯白噪声，由MATLAB中的函数awgn产生，以模拟随机干扰。信号采样频率4 096Hz，采样时长为1s。式（16）所示合成信号的时域波形如图2（c）所示，从图2（c）中可看出，信号中存在冲击，但无法直接判断故障类型。

利用线调频小波路径追踪算法从图2（c）所示合成信号中提取瞬时转频，获取的估计瞬时转频曲线如图3中实线所示，而虚线则为实际瞬时转频。从图3中可看出，实线与虚线基本重合，说明线调频小波路径追踪算法能很好地从信号中提取转频曲线，具有较高的精度。

变速齿轮箱复合故障仿真信号，如下式所示：

图2 模拟齿轮故障信号、模拟轴承故障信号与合成信号Fig．2 The simulated signal of the fault gear、the simulated signal of the fault bearing and the composited signal

图3 实际瞬态转频与估计瞬态转频对比Fig．3 The comparison between the actual rotate speed and the estimated rotate speed

利用图3中的估计瞬时转频曲线对图1（c）所示合成信号进行角域重采样，得到的角域周期平稳信号如图4所示。

对图4所示信号进行能量算子解调分析，得到的阶次解调谱如图5所示，图中存在2个明显的峰值，即阶次1．0和阶次3．5处，其中，阶次1．0为转频阶次，说明信号中出现了转频调制现象，与模拟齿轮故障相符；而阶次3．5为轴承故障阶次，说明信号中出现了轴承局部故障，与实验设置相符，验证了本文方法的有效性。

图4 重采样信号Fig．4 The resampling signal

图5 仿真信号阶次解调谱Fig．5 The order demodulating spectrum of the simulated signal

5 应用实例

试验台为单级传动齿轮箱，其简图如图6所示。试验齿轮为正齿轮，主动轴与从动轴齿数均为37。试验轴承1～4均为SKF6307－2RS深沟球轴承，其内径d＝35mm，外径D＝80mm，滚动体个数Z＝8，接触角α＝0，滚动体直径d0＝13．5mm。经计算，内圈、外圈对应的故障特征阶次分别为4．94，3．06。为模拟齿轮箱齿轮、轴承复合故障，在齿轮2上整体切割掉一个齿，以模拟齿轮断齿故障，并用激光在齿轮2齿根处切割宽0．15mm、深1mm的槽，以模拟齿轮裂纹故障；同时，用激光在轴承4的内圈和外圈上切割宽0．15mm，深0．13mm的槽，以模拟轴承内圈和外圈故障。为减少传递路径的影响，振动加速度传感器置于轴承4的轴承盖上，测取径向垂直方向上的振动加速度信号。同时，在主动轴上安装光电式转速传感器，获取实测转速信号，以进行对比研究。试验中，主动轴的转速在300～700r／min之间变化。试验用LMS数据采集设备同时采集振动加速度信号和转速信号，采样频率为8 192 Hz，采样时长为4s。

图7为齿轮2断齿故障和轴承4外圈故障的时域波形图，图中可看出，信号中存在明显冲击，但冲击之间的时间间隔逐渐变大，且幅值随时间变小，说明齿轮箱处于降速阶段。

图6 试验台简图Fig．6 The diagram of the test bed

图7 齿轮断齿加轴承外圈复合故障信号Fig．7 The vibration signal of the test bed with compound fault consisted of broken gear and outer race cracked bearing

利用线调频小波路径追踪算法对图7信号进行瞬时转频提取，估计得到转频曲线如图8中实线所示，虚线为实测瞬时转频，实线与虚线基本重合，表明线调频小波路径追踪算法能从实测信号中精确地提取转速信号。

图8 齿轮断齿加轴承外圈复合故障实测瞬态转频与估计瞬态转频对比Fig．8 The comparison between the measured rotate speed and the estimated rotate speed of the compound fault consisted of broken gear and outer race cracked bearing

利用获取的转频曲线对图7信号进行角域重采样，得到角域周期平稳信号，再对角域周期平稳信号进行能量算子解调分析，得到的阶次解调谱如图9所示。从图9中可看出，在转频阶次fr、二倍转频阶次2fr处出现了峰值，与齿轮断齿故障调制现象相符；同时，在外圈故障阶次fo～6fo处峰值明显，表明轴承出现了外圈局部故障。

图9 齿轮断齿加轴承外圈复合故障阶次解调谱Fig．9 The order demodulating spectrum of the compound fault consisted of broken gear and outer race cracked bearing

图10为齿轮2断齿故障和轴承4内圈故障的时域波形图，图示信号中存在冲击，但冲击不如图7明显。其原因为轴承内圈与轴多为紧密的过盈配合，内圈存在故障时，其故障位置会随着轴承旋转而相对地发生改变，因而，内圈故障信号中的冲击特征会比外圈故障信号微弱［27］。

图10 齿轮断齿加轴承内圈复合故障信号Fig．10 The vibration signal of the test bed with compound fault consisted of broken gear and inner race cracked bearing

采用线调频小波路径追踪算法从图10信号中提取转频曲线，估计的转频曲线如图11实线所示。图11中虚线为实测转频曲线。

利用图11中的估计瞬时转频曲线对图10信号进行角域重采样，获取角域周期平稳信号，再对角域周期平稳信号进行能量算子解调分析，得到的阶次解调谱如图12所示。图12中，在转频阶次fr～3fr处存在明显峰值，说明信号中存在转频调制现象，与齿轮断齿故障相符；同时，在内圈故障阶次fi、2倍阶次2fi处存在峰值，表明出现了轴承内圈局部故障。

图11 齿轮断齿加轴承内圈复合故障实测瞬态转频与估计瞬态转频对比Fig．11 The comparison between the measured rotate speed and the estimated rotate speed of the compound fault consisted of broken gear and inner race cracked bearing

图12 齿轮断齿加轴承内圈复合故障阶次解调谱Fig．12 The order demodulating spectrum of the compound fault consisted of broken gear and inner race cracked bearing

图13为齿轮2裂纹故障和轴承4外圈故障的时域波形图。图示，信号中存在着冲击，且幅值由大变小，说明齿轮箱处于减速阶段。

图13 齿轮裂纹加轴承外圈复合故障信号Fig．13 The vibration signal of the test bed with compound fault consisted of cracked gear and outer race cracked bearing

利用线调频小波路径追踪算法估计图13信号中的转速信息，估计出的转速曲线如图14中实线所示。图14中虚线为实测瞬时转频曲线。

图14 齿轮裂纹加轴承外圈复合故障实测瞬态转频与估计瞬态转频对比Fig．14 The comparison between the measured rotate speed and the estimated rotate speed of the compound fault consisted of cracked gear and outer race cracked bearing

利用图14中的估计瞬时转频对图13所示信号进行等角度重采样，得到角域平稳信号，再对角域平稳信号进行能量算子解调分析，得到的阶次解调谱如图15所示。图15中，在转频阶次fr，2倍转频阶次2fr和4倍转频阶次4fr处出现了峰值，说明信号中存在转频调制现象，与齿轮裂纹局部故障特征相符；同时，在外圈故障特征阶次fo～6fo处出现了较大的峰值，说明轴承的外圈出现了局部故障。

图15 齿轮裂纹加轴承外圈复合故障阶次解调谱Fig．15 The order demodulating spectrum of the compound fault consisted of cracked gear and outer race cracked bearing

图16为齿轮2裂纹故障和轴承4内圈故障的时域波形图，图示信号中存在冲击。

图16 齿轮裂纹加轴承内圈复合故障信号Fig．16 The vibration signal of the test bed with compound fault consisted of cracked gear and inner race cracked bearing

利用线调频小波路径追踪算法对图16所示信号进行转频估计，提取出的转频曲线如图17中实线所示。图17中，虚线为实测瞬时转频。从图17中可见，估计瞬时转频和实测瞬时转频基本重合。

图17 齿轮裂纹加轴承内圈复合故障实测瞬态转频与估计瞬态转频对比Fig．17 The comparison between the measured rotate speed and the estimated rotate speed of the compound fault consisted of cracked gear and inner race cracked bearing

利用图17中的估计瞬时转频对图16所示信号进行等角度重采样，再对重采样信号进行能量算子解调分析，得到的阶次解调谱如图18所示。图18中，在转频阶次fr～4fr，6fr处出现峰值，说明信号中出现转频调制现象，与齿轮裂纹局部故障相符；同时，在轴承内圈故障特征阶次fi处，亦出现了峰值，表明轴承出现了内圈局部故障。

图18 齿轮裂纹加轴承内圈复合故障阶次解调谱Fig．18 The order demodulating spectrum of the compound fault consisted of cracked gear and inner race cracked bearing

6 结 论

（1）算法仿真和应用实例表明，线调频小波路径追踪算法可直接从原始振动信号中提取出转速信息，具有精度高的优点。

（2）齿轮出现断齿、裂纹局部故障时振动信号中往往出现转频调制现象，而轴承出现内圈、外圈局部故障时其振动信号则会被轴承内圈或外圈的通过频率调制，因而，可根据调制频率的不同，实现对包含齿轮局部故障和轴承局部故障的变速齿轮箱复合故障进行诊断。

（3）通过算法仿真和应用实例对包含齿轮局部故障与轴承局部故障的变速齿轮箱复合故障进行分析，结果表明，本文方法在无转速计的情况下，能有效地提取变速齿轮箱中复合故障的故障特征。

［1］ 张含蕾，周洁敏，李刚．基于小波分析的感应电动机复合故障诊断［J］．中国电机工程学报，2006，26（8）：159—162．

Zhang Hanlei，Zhou Jiemin，Li Gang．Mixed fault diagnosis based on wavelet analysis in induction motors［J］．Proceedings of the CSEE，2006，26（8）：159—162．

［2］ 袁静，何正嘉，訾艳阳．基于提升多小波的机电设备复合故障分离和提取［J］．机械工程学报，2010，46（1）：79—85，91．

Yuan Jing，He Zhengjia，Zi Yanyang．Separation and extraction of electromechanical equipment compound fault using lifting multiwavelets［J］．Jounal of Mechanical Engineering，2010，46（1）：79—85，91．

［3］ 王晓冬，何正嘉，訾艳阳．多小波自适应构造方法及滚动轴承复合故障诊断研究［J］．振动工程学报，2010，23（4）：438—444．

Wang Xiaodong，He Zhengjia，Zi Yanyang．Adaptive construction of multiwavelet and research on composite fault diagnosis of rolling bearing［J］．Journal of Vibration Engineering，2010，23（4）：438—444．

［4］ 崔玲丽，高立新，张建宇，等．基于EMD的复合故障诊断方法［J］．北京科技大学学报，2008，30（9）：1 055—1 060．

Cui Lingli，Gao Lixin，Zhang Jianyu，et al．Composite fault diagnosis method based on empirical mode decomposition［J］．Journal of University of Science and Technology Beijing，2008，30（9）：1 055—1 060．

［5］ 荆建平，孟光．盲源分离在转子复合故障诊断中的应用［J］．振动工程学报，2004，17（S）：350—352．

Jing Jianping，Meng Guang．A new method for multifaults diagnosis of rotor system［J］．Journal of Vibration Engineering，2004，17（S）：350—352．

［6］ 陈晓理，王仲生，姜洪开，等．基于改进样板去噪源分离的轴承复合故障诊断［J］．中国机械工程，2011，22（17）：2 080—2 084．

Chen Xiaoli，Wang Zhongsheng，Jiang Hongkai，et al．Bearing multi－fault diagnosis based on improved template denoising source separation［J］．China Mechanical Engineering，2011，22（17）：2 080—2 084．

［7］ 杨杰，郑海起，关贞珍，等．基于形态成分分析的轴承复合故障诊断［J］．轴承，2011，8：38—42．

Yang Jie，Zheng Haiqi，Guan Zhenzhen，et al．Com－pound fault diagnosis for bearings based on morphological component analysis［J］．Bearings，2011，8：38—42．

［8］ 李辉，郑海起，唐力伟．基于改进形态分量分析的齿轮箱轴承多故障诊断研究［J］．振动与冲击，2012，31（12）：135—140．

Li Hui，Zheng Haiqi，Tang Liwei．Bearing multi－fault diagnosis based on improved morphological component analysis［J］．Journal of Vibration and Shock，2012，31（12）：135—140．

［9］ Lei Yaguo，He Zhengjia，Zi Yanyang．Application of a novel hybrid intelligent method to compound fault diagnosis of locomotive roller bearings［J］． ASME Transactions on Journal of Vibration and Acoustics，2008，130（3）：1—6．

［10］Purushotham V，Narayanana S，Prasad A N．Multifault diagnosis of rolling bearing elements using wavelet analysis and hidden markov model based fault recognition［J］．Journal of NDT ＆ E International，2005，38（8）：654—664．

［11］Wu Fengqi，Meng G．Compound rub malfunctions feature extraction based on full－spectrum cascade analysis and svm［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2006，20（8）：2 007—2 021．

［12］Heyns T，Godsill S J，Villiers J P，et al．Statistical gear health analysis which is robust to fluctuating loads and operating speeds［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2012，27：651—666

［13］Borghesani P，Pennacchi P，Randall R B，et al．Order tracking for discrete－random separation in variable speed conditions［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2012，30：1—22．

［14］Shao Hui，Jin Wei，Qian Shie．Order tracking by discrete gabor expansion［J］．IEEE Trans on Instrumentation and Measurement，2003，52（3）：754—761．

［15］赵晓平，侯荣涛．基于Viterbi算法的Gabor阶比跟踪技术［J］．机械工程学报，2009，45（11）：247—252．

Zhao Xiaoping，Hou Rongtao．Gabor order tracking based on Viterbi algorithm［J］．Journal of Mechanical Engineering，2009，45（11）：247—252．

［16］Bossley K M，Mckendrick R J，Harris C J，et al．Hybrid computed order tracking［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，1999，13（4）：627—641．

［17］Saavedra P N，Rodriguez C G．Accurate assessment of computed order tracking［J］．Shock and Vibration，2006，13（1）：13—32．

［18］郭瑜，秦树人，汤宝平，等．基于瞬时频率估计的旋转机械阶比跟踪［J］．机械工程学报，2003，39（3）：32—36．

Guo Yu，Qin Shuren，Tang Baoping，et al．Order tracking of rotating machinery based on instantaneous frequency estimation［J］．Chinese Journal of Mechanical Engineering，2003，39（3）：32—36．

［19］Candès E J，Charlton P R，Helganson H．Detecting highly oscillatory signals by chirplet path pursuit［J］．Applied and Computational Harmonic Analysis，2008，24（1）：14—40．

［20］Peng Fuqiang，Yu Dejie，Luo Jiesi．Sparse signal decomposition method based on multi－scale chirplet and its application to the fault diagnosis of gearboxes［J］．Mechanical System and Signal Processing，2011，25（2）：549—557．

［21］陈向民，于德介，罗洁思．基于线调频小波路径追踪阶比循环平稳解调的齿轮故障诊断［J］．机械工程学报，2012，48（3）：95—101．

Chen Xiangmin，Yu Dejie，Luo Jiesi．Gear tooth fault diagnosis by using order cyclostationary demodulating approach based on chirplet path pursuit［J］．Journal of Mechanical Engineering，2012，48（3）：95—101．

［22］Teager H M．Some observations on oral air flow during phonation［J］．IEEE Transactions on Acoustics，Speech，and Signal Processing，1980，28（5）：599—601．

［23］Ho D，Randall R B R．Optimization of bearing diagnostic techniques using simulated and actual bearing fault signals［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2000，14（5）：763—768．

［24］丁康，李巍华，朱小勇．齿轮及齿轮箱故障诊断实用技术［M］．北京：机械工业出版社，2005．

Ding Kang，Li Weihua，Zhu Xiaoyong．The Gear and Gearbox Fault Diagnosis Practical Technology［M］．Beijing：China Machine Press，2005．

［25］刘红星，陈涛，屈梁生，等．能量算子解调方法及其在机械信号解调中的应用［J］．机械工程学报，1998，34（5）：85—90．

Liu Hongxing，Chen Tao，Qu Liangsheng，et al．Energy operator demodulating approach and its application in mechanical signal demodulations［J］．Chinese Journal of Mechanical Engineering，1998，34（5）：85—90．

［26］程军圣，于德介，杨宇．基于EMD的能量算子解调方法及其在机械故障诊断中的应用［J］．机械工程学报，2004，40（8）：115—118．

Cheng Junsheng，Yu Dejie，Yang Yu．Energy operator demodulating approach based on EMD and its application in mechanical fault diagnosis［J］．Chinese Journal of Mechanical Engineering，2004，40（8）：115—118．

［27］褚福磊，彭志科，冯志鹏，等．机械故障诊断中的现代信号处理方法［M］．北京：科学出版社，2009．

Chu Fulei，Peng Zhike，Feng Zhipeng，et al．Modern Signal Processing Method in Mechanical Fault Diagnosis［M］．Beijing：Science Press，2009．