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关于除数函数与Smarandache k次补数的混合均值*

2013-09-11炜,马

关键词:管理系文理学院宝鸡

黄 炜,马 焱

(1.宝鸡职业技术学院基础部,陕西宝鸡 721013;2.宝鸡文理学院经济管理系,陕西宝鸡 721013)

关于除数函数与Smarandache k次补数的混合均值*

黄 炜1,马 焱2

(1.宝鸡职业技术学院基础部,陕西宝鸡 721013;2.宝鸡文理学院经济管理系,陕西宝鸡 721013)

对任意的正整数n,Smarandache k次幂补数Ak(n)定义为最小的正整数m,使得mn是完全k次幂数.用解析的方法研究了除数函数τ(n)对补数列Ak(n)的复合函数τ(Ak(n))的混合均值并得到了一个渐近公式.

除数函数;k-次幂补数;均值;渐近公式

1 引理及证明

文献[5]包含了证明以下引理所需要的基础知识.

引理3 设ε是任意正常数,当σ≥k-1时,有

(1)B(s+1)在半平面Re s≥k-1+ε上有界且解析;

证明 对于任意素数p,p的k次补数Ak(pn)为

(2)由定义知Ak(n)是积性函数,又因为τ(Ak(m·n))=τ(Ak(m))·τ(Ak(n)),τ(Ak(n))也是积性函数,所以由Ak(n)的定义及文献[5]的有关定理有:当σ≥k-1时,τ(Ak(n))的Dirichlet级数为

2 定理及证明

定理1 设x≥1,则有渐近公式

[1] SMARANDACHE F.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago:Xiquan Publishing House,1993.

[2] HUANG Wei.An Arithmetical Function and the Power Complements[C]//Research on Smaramtache Problems in Number Theory.Hexis,2005:123-124.

[3] 张红莉,王 阳.关于平方补数除数函数的均值[J].纺织高校基础科学学报,2002(1):44-46.

[4] 王 阳.立方幂补数除数函数的均值[J].数学的实践与认识,2004,34(12):144-148.

[5] TOM M APOSTPL.Introduction to Analytic Number Theory[M].New York:Springer-Verlag,1976.

[6] PAN C D,PAN C B.Foundation of Analytic Number Theory[M].Beijing:Science Press,1997.

(责任编辑 向阳洁)

Mean Value of Divisor Function for Smarandache k-Power Complements

HUANG Wei1,MA yan2
(1.Department of Basic Courses,Baoji Vocational and Technical College,Baoji 721013,Shaanxi China;2.Department of Ecomomics and Management,Baoji University of Arts and Sciences,Baoji 721013,Shaanxi China)

Let n be positive integer,the Smarandache k-power complements Ak(n)is defined as the smallest integer m such that mnis perfect k-th power.The mean value ofτ(Ak(n))is studied and an asymptotic formula is given by the analytic integral methods.

divisor function;k-power complement;mean value;asymptotic formula

O156.4

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2013.05.002

1007-2985(2013)05-0003-03

2013-01-14

国家自然科学基金资助项目(11071194);陕西省自然科学基金资助项目(09JK432)

黄 炜(1961-),男,陕西岐山人,宝鸡职业技术学院基础部教授,主要从事解析数论与特殊函数研究;马焱(1963-),女,陕西乾县人,宝鸡文理学院教授,主要从事财务管理研究.

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