邢家省，王拥军

(北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191)

曲面上法曲率的最值和最值切方向的性质*

邢家省，王拥军

(北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191)

考虑曲面上法曲率最值和最值切方向的直接求法问题，给出了直接的导出方法，得到最值和最值切向量的特征值、特征向量的性质和2最值切向量的正交共轭性质.

法曲率的最值;最值切方向;特征值;特征向量;共轭正交方向;法曲率的欧拉公式

对曲面上法曲率最值的研究，一般是通过曲面上的正交和共扼的2切方向［1］或考察Weingarten变换的特征值和特征向量［2-3］，再运用法曲率的欧拉公式证明法曲率的最大值和最小值的存在性及求法，进而引入高斯曲率和平均曲率及其计算公式［1-3］.

在文献［4-8］相关内容的基础上，笔者对法曲率的最值和最值切向量问题给出直接的求法，并由此出发给出2最值切向量的正交性和共轭性，给出最值和最值切向量的特征值、特征向量的性质.

1 法曲率的最值和最值方向的直接求法

在曲面Σ:r=r(u，v)上一点P处，沿切方向(d)=du:dv上的法曲率kn为［1－3］

设n是曲面Σ在P点的法向量，采用文献［1－6］中的常用记号.考虑法曲率kn的最大值、最小值的直接求法问题.

这样一来，关于法曲率的最值问题转化为求二次分式的最值问题.

将(2)式化为一元二次方程Lλ2+2Mλ+N－kn(Eλ2+2Fλ+G)=0，即(L－knE)λ2+2(M－knF)λ+N－knG=0，它关于λ的一元二次方程有实根，当且仅当

设k1，k2(k1≤k2)是一元二次……