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全等三角形性质才艺展示

2013-08-19黄细把

今日中学生(初二版) 2013年7期
关键词:外角代数式平分线

黄细把

学习了“与三角形有关的角”的知识后,经常遇到一类探索角的关系问题. 解答它们,要注意灵活利用如下两个性质:

1. 三角形的内角和等于180°;

2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

例1 如图1-1所示,△ABC中,点P是∠ABC和∠ACB平分线的交点.

(1)请探索∠P与∠A之间的数量关系;

(2)如图1-2所示,若点P是∠ABC的外角和∠ACB的外角平分线的交点,判断你在(1)中探索的结论是否还成立.如果不成立,∠P和∠A又有怎样的关系,说明理由.

分析:无论是图1-1,还是图1-2,都有∠P+(∠PBC+∠PCB)=180°. 要探索∠P与∠A之间的数量关系,应考虑将∠PBC+∠PCB转化,看看能否用∠A的代数式表示.

解:(1)∠P=90°+■∠A,理由如下:

∵ 点P是∠ABC和∠ACB平分线的交点,

∴∠PBC=■∠ABC,∠PCB=■∠ACB.

∴ ∠PBC+∠PCB=■(∠ABC+∠ACB).

∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A,

∴ ∠PBC+∠PCB=90°-■∠A.

∵ ∠P+(∠PBC+∠PCB)=180°,

∴ ∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=90°+■∠A.

(2)不成立.∠P=90°-■∠A,理由如下:

∵ 点P是∠DBC和∠ECB平分线的交点,

∴ ∠PBC=■(180°-∠ABC),∠PCB=■(180°-∠ACB).

∴ ∠PBC+∠PCB=180°-■(∠ABC+∠ACB).

∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A,

∴ ∠PBC+∠PCB=90°+■∠A.

∵ ∠P+(∠PBC+∠PCB)=180°,

∴ ∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=90°-■∠A.

例2 如图2-1中,AB∥CD,点P在直线BD上运动.

(1)当点P在点B的上方运动时,∠APC、∠PAB、∠PCD有

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