王倩,陈晓燕

(西北大学数学系,陕西西安 710127)

扩展的Sinh-Gordon方程展开法与Kaup-Kupershmidt方程的Jacobi椭圆函数解

王倩,陈晓燕

(西北大学数学系,陕西西安 710127)

利用扩展的Sinh-Gordon方程展开法研究了Kaup-Kupershmidt方程的Jacobi椭圆函数解,此方法也适用于求解其他非线性演化方程,从而丰富了方程解的范围.

扩展的Sinh-Gordon方程展开法;Kaup-Kupershmidt方程;

1 引言

非线性偏微分演化方程出现在数学,物理,化学,生物,通信等广泛领域,它具有相异于线性演化方程的丰富内涵,与生活联系更为紧密.在(1+1)维可积模型中,有Kaup-Kupershmidt方程(以下简称KK方程):

到目前为止,已有很多种方法用来求解KK方程.2003年,文献[1]通过使用双曲函数法求得了方程(1)的一些孤立波解;2005年,文献[2]利用Jacobi椭圆函数的特性和平衡法的思路求得了方程(1)的多种周期解,而文献[3-5]所提出的Sinh-Gordon方程展开法是一种方便快捷的办法,已经被用来求解了很多非线性演化方程的Jacobi椭圆函数解.

本文在Sinh-Gordon方程展开法的基础上,对文献[5]中变换方法以及所设解中第二项系数函数稍加改变,即扩展的Sinh-Gordon方程展开法[6]再次研究了KK方程,并获得了由Jacobi椭圆函数表示的方程的通解.进而在极限的形式下,得到了方程相应的三角函数解,从而扩大了解的范围.

2 扩展的Sinh-Gordon方程展开法

利用扩展的Sinh-Gordon方程展开法求解非线性演化方程的步骤:

步骤一对于含有三个独立变量x,y,t的非线性演化方程:

得来,通过平衡(3)式中最高阶导数项和起决定性作用的非线性项可以确定n的值.而若参数n恰好不是正整数,则需要再次进行变换u=vn.

步骤三将(4)式代入(3)式,再结合(5)式,可以得到一个关于sinhiω(ξ),coshiω(ξ)的多项式方程,令含有sinhiω(ξ),coshiω(ξ)的各项系数为0,得到关于k,l,λ,A0,Ai,Bi的代数方程组,利用Maple可以解出k,l,λ,A0,Ai,Bi的关系式.

步骤四将得到的k,l,λ,A0,Ai,Bi的关系式代回到(3)式,再利用(4)式的通解,经过分析即可以得到(2)式的Jacobi椭圆函数解.

3 五阶KK方程的Jacobi椭圆函数解

从而将上述解(1)-(6)分别代入(7)式,即可获得KK方程的对应的(6)式的新的Jacobi椭圆函数解:

从而得到KK方程相应的三角函数解.

类似地,利用以上步骤还可以对著名方程Benjamine-Ono方程,对称长波方程和mKdV方程[8]进行求解.用扩展Sinh-Gordon方程展开法求解时方便且快捷,值得在以后的研究中将其推广,应用到更多的非线性演化方程的求解中.

[1]翁建平.利用双曲函数法求Kaup-Kupershmidt方程的精确解[J].长沙大学学报,2003,17(6):7-11.

[2]Fu Z,Liu S,Liu Shida.Exact solutions to double and triple sinh-Gordon equations[J].Z.Naturforsch, 2004,59:933-937.

[3]杨先林,唐驾时.非线性演化方程的新Jacobi椭圆函数解[J].动力学与控制学报,2011,2(6):147-150.

[4]刘式适,付遵涛,刘适达.Jacobi椭圆函数展开法及其在求解非线性波动方程中的应用[J].物理学报,2001, 50(11):2068-2073.

[5]翁建平.用Jacobi椭圆函数求非线性方程的解析解[J].安徽大学学报:自然科学版,2005,9(5):36-39.

[6]刘式适,付遵涛,刘适达.非线性波动方程的Jacobi椭圆函数包络周期解[J].物理学报,2002,51(4):718-722.

[7]Perring J K,Skyrme T H.A model unified field equation[J].Nucl.Phys.,1962,31:550-555.

[8]张善卿,李志斌.Jacobi椭圆函数展开法的新应用[J].物理学报,2003,52(5):1066-1069.

[9]张平.KK方程和改进的Boussineep方程的新精确解[J].数学的实践与认识,2009,39(4):189-197.

[10]赵云梅,芮伟国.Zhiber-Shabat方程的孤立波解与周期波解[J].纯粹数学与应用数学,2008,24(2):283-288.

[11]曹瑞.带色散项的高阶非线性Schrdinger方程的精确解[J].纯粹数学与应用数学,2012,1(2):92-98.

Extended Sinh-Gordon equation-expansion method and solutions to Kaup-Kupershmidt equation with Jacobi elliptic function

Wang Qian,Chen Xiaoyan
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

The paper tends to introduce the extended Sinh-Gordon equation-expansion method which is a convenient tool in solving equations,and the solutions to Kaup-Kupershmidt equation with Jacobi elliptic function can be derived by this method.Furthermore,the related famous equations can also be derived by the method above,which has enriched solutions of them.

extended Sinh-Gordon equation-expansion method,Kaup-Kupershmidt equation, the solutions with Jacobi elliptic function,the solutions with trigonometric function

O175.29

A

1008-5513(2013)02-0159-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.008

2012-11-14.

国家自然科学基金(10671156).

王倩(1989-),硕士生,研究方向：非线性偏微分方程.

Jacobi椭圆函数解;三角函数解

2010 MSC:35J15