邓木生，王玺珍，黄 俊

（湖南铁道职业技术学院轨道交通系，株洲 412001）

自耦补偿与谐波屏蔽换流变压器[1]是一种用于直流输电的新型换流变压器，其接线方案见文献[2]。新型换流变压器一次绕组采用Y形连接，二次绕组采用延边三角形连接，其延边绕组端点与换流器连接；滤波装置不是安装在换流变压器一次侧，而是安装到二次侧延边三角形耦合绕组中间抽头处[2]。

新型换流变压器具有特殊的绕组布置结构与阻抗匹配关系，其目的是为了实现利用变压器绕组的安匝平衡作滤波机理的自补滤波方式。由于该种滤波方式较之无源滤波与有源滤波有诸多优点，因此特别适合于因非线性负荷的作用而存在大量谐波与无功的直流输电系统[3～6]。

纵向不对称故障，即一相或两相断开故障[7]，是电力系统中常见的故障。本文主要研究新型换流变压器纵向不对称故障的计算方法，这对新型换流变压器继电保护参数整定、实现新型换流变压器及其滤波系统自动化控制和安全经济运行具有重要的理论意义和实际价值。

传统的计算电力纵向不对称故障的方法[8～11]通常需要增加新节点，但是增加网络的阶数会对计算方法产生影响，并且在多重断相情况下程序编制困难，目前主要采用阻抗模拟法使用高阻抗来模拟纵向故障[12]，但其会带来数值处理上的问题[13]。文献[14]采用稀疏列表法对新型换流变压器进行了断线故障计算，但该故障计算方法存在以下不足：①所建稀疏列表方程阶数高，算法组织复杂，运算量大；②网络方程形式不直观，物理含义不明确；③耦合支路断线故障计算比较复杂，但很重要。文献[14]只给出了文献[2]中接线方案的电流源支路、滤波支路断线故障的求解方法，但没有给出耦合支路断线故障的方法，从而使该方法的推广应用受到了限制。

添加法是电网络分析中很具特色的建立网络方程的方法[15]，该方法与文献[14]建立电网络方程的方法相比，算法组织简单，算法内存占用量减少，运算量小，提高了计算效率；该方法建立的网络方程形式比较直观，而且可以确定电网络中每条支路对网络方程贡献的大小及其出现在网络方程中的位置，物理含义很明确。

本文在文献[16]采用添加法建立的新型换流变压器正常状态数学模型基础上，根据添加法建立网络方程的原理，通过修改正常状态数学模型来计算新型换流变压器的各种纵向不对称故障（电流源支路、滤波支路、耦合支路纵向不对称故障），并通过实际算例验证了该方法的正确性。

1 新型换流变压器耦合电路及有向图

新型换流变压器由3个单相三绕组变压器连接而成，由其接线[2]可得出表征新型换流变压器三相绕组具体连接方式的耦合电路，如图1所示。图1 中，R1、R2、R3、L1、L2、L3分别表示 A、B、C 各相一次侧绕组、二次侧延边绕组与公共绕组的电阻和自感；M12、M13、M23分别表示每相中各绕组间的互感；Ii表示各支路电流，i=1，2，…，12，其中 I1=IS1、I2=IS2、I3=IS3分别表示 A、B、C 相激励电流。

将新型换流变压器看作含互感支路的电网络，由图1可得文献[2]中接线方案的有向图如图2所示，图2中的数字1～15为支路的编号、①～⑨为节点的编号，0代表接地点。

2 新型换流变压器纵向不对称故障计算

2.1 添加法基本原理

对于一个节点数为n，支路数为b的电力网络来说，设节点导纳矩阵为Yn、支路导纳矩阵为Yb、电压源列向量为US、电流源列向量为IS、节点电流列向量为In。如果运用关联矩阵法建立节点导纳方程，在求得节点导纳矩阵Yn及节点电流列向量In中需要做矩阵运算

图1 新型换流变压器耦合电路Fig.1 Coupled circuit of the new converter transformer

图2 新型换流变压器电网络有向图Fig.2 Directed digraph of electric network of the new transformer

事实上，由于关联矩阵A所含元素仅为0、+1、-1，所以与A或AT的乘法运算实质上仅是某些元素的加减运算，因此进行乘法运算是无谓的，低效的。而且，从上面的矩阵运算公式可以看出，在利用计算机编程计算中，要建立方程至少需存放关联矩阵A，支路矩阵Yb及节点电流列向量In。存放最终得到的网络方程仅需n2+n个单元，但存放矩阵A却需要n×b个单元，存放矩阵Yb需b×b个单元，显然矩阵A及Yb的存放占据了很多的单元。

因为节点导纳方程实质上是n个节点的KCL方程，方程左边以流出节点电流为正，方程右边则以流入节点的电流为正，因此可以列出电网络中某条支路的KCL方程，就可以确定该条支路对网络方程贡献的大小及其出现在网络方程中的位置。添加法正是基于此思路来建立电力网络的节点导纳网络方程，具体实现过程如下：建立方程的开始，节点导纳矩阵及右端节点电流列向量里面的元素全为零，扫描一个支路就将它对方程的贡献填到合适的位置，这样逐次扫描，逐次添加，直至网络中每一个支路均被扫描，网络方程便被建立起来，添加法实质上是支路在网络方程的贡献逐个添加的方法[15]。由于没有借助于关联矩阵，因此无需存放关联矩阵和支路矩阵，并且省掉了与关联矩阵A相关的矩阵运算，从而大大节省了算法占用的计算机内存，并提高了运算的效率。

采用添加法的关键在于确定每一类支路对方程的贡献，下面以简单的电阻支路和电流源支路为例来说明确定支路对方程贡献的方法：

设定支路电压和电流取关联方向，假设电阻R接在节点i与j之间，支路电流方向从i到j，若i与j都不是参考节点，该电流对节点i的贡献为：流出电流（Vi-Vj）/R，对节点j的贡献为：流入电流（Vi-Vj）/R。电阻支路对网络方程的贡献在节点导纳矩阵Yn，其具体位置及数值为

如果节点i或j为参考节点，则应划去i或j行及列的相应贡献。

假设电流源IS接在节点i与j之间，支路电流方向从i到j，则对节点i的贡献为：流出电流IS，对节点j的贡献为：流入电流IS。电流源支路对网络方程贡献在节点电流列向量In，其具体位置及数值为

2.2 新型换流变压器纵向不对称故障计算

根据图1，可将图2的支路分为3类：耦合支路 4～12；滤波支路 13～15；电流源支路 1～3。3 种类型的支路对网络方程的贡献各有特点，支路1～3对网络方程贡献的位置处于节点电流列向量；支路4～15对网络方程贡献的位置处于节点导纳矩阵，重点是确定耦合支路对网络方程的贡献。

基于图1所示新型换流变压器的耦合电路，结合图2所示的新型换流变压器有向图，并以实际新型换流变压器参数为依据，分别添加支路1～13对网络方程的贡献，便可以得到基于添加法的新型换流变压器正常状态数学模型[16]为

式（4）从左到右分别为节点导纳矩阵、节点电压列向量、节点电流列向量。

基于式（4）所示的新型换流变压器正常状态数学模型，本文采用添加法计算新型换流变压器各种纵向不对称故障，其思路是根据纵向不对称故障的类型，通过修改支路对网络方程的贡献来建立新型换流变压器纵向不对称故障数学模型，并对该模型进行求解。

当支路上发生纵向不对称故障的时候，通常的做法是将故障节点作为新的节点，网络方程增加阶数，从而将支路故障转换成节点故障处理[17～18]。因此本文只考虑新型换流变压器节点处发生的纵向不对称故障，而没有对非节点处发生的纵向不对称故障做进一步的说明。

为了便于描述，把新型换流变压器的一次绕组端口节点A1、B1、C1看作节点H的三相、二次延边绕组端口节点a2、b2、c2为节点J的三相、二次公共绕组端口节点a3、b3、c3为节点K的三相。

2.2.1 新型换流变压器简单纵向不对称故障

1）节点单相断线故障

设新型换流变压器节点H发生A相断线故障，即图3的支路1与节点①断开，支路1对网络方程不再有贡献，因此需要消去支路1对原网络方程的贡献。在断线故障发生前，根据图3，该支路接在节点①和参考节点之间，支路1的电流从参考节点出发，流入节点①。支路1是电流源支路，它对网络方程贡献的位置处于节点电流列向量。设I（i，1）b表示电流源支路b对节点电流列向量的贡献，该贡献位置处于节点电流列向量I的i行1列。因此支路1对节点①的贡献为I（1，1）1=IS1。消去支路1对节点①的贡献，则I（1，1）=0。由于支路2～15对网络方程的贡献不变，因此将I（1，1）=0代入原网络方程式（4）即可得到新型换流变压器节点H发生A相断线故障的数学模型。

2）节点两相断线故障

设新型换流变压器节点H发生B、C相断线故障，即图3的支路2与节点②、支路3与节点③同时断开。支路2、3对网络方程不再有贡献，因此需要消去支路2、3对原网络方程的贡献。在断线故障发生前，根据图3，支路2、3的电流均从参考节点出发，分别流入节点②、③。支路2、3是电流源支路，因此支路2、3对节点②、③的贡献分别为：I（2，1）2=IS2；I（3，1）3=IS3。消去支路2、3对网络方程的贡献，则 I（2，1）=0；I（3，1）=0。由于其余支路对网络方程的贡献不变，因此将I（2，1）=0、I（3，1）=0 代入原网络方程式（4）即可得到新型换流变压器节点H发生B、C相断线故障的数学模型。

2.2.2 新型换流变压器复杂纵向不对称故障

1）节点单相断线后的断线点与另外一相节点短路

设新型换流变压器节点K发生C相断线故障，断线点与节点K的B相节点相连，即图3的支路15先与节点⑨断开，然后支路15的断线点与节点⑧短路。

首先：将支路15与节点⑨断开。需消去支路15对原网络方程中作的贡献。支路15对网络方程贡献的位置处于节点导纳矩阵。设Yp3（i，j）b表示支路b对原节点导纳矩阵的一个贡献，该贡献的具体位置处于节点导纳矩阵Yp3的i行j列。在断线故障发生前，根据图3，支路15接在节点⑨和参考节点之间，支路15的电流从节点⑨出发，流入参考节点。设每相滤波支路在基频下的阻抗为zK，则支路15对节点⑨的贡献为：Yp3（9，9）15=1/zK。消去支路15对节点⑨的贡献，相应的节点导纳矩阵变为Yp4，则有Yp4（9，9）=Yp3（9，9）-Yp3（9，9）15，Yp4其余元素与Yp3一致。

然后：断线支路与节点⑧连接。设该支路编号仍为15，支路电流由节点⑧流出，流入参考节点，因此需要添加支路15对节点⑧的贡献，相应的节点导纳矩阵变为Yp5。支路15对节点⑧的贡献为Yp5（8，8）15=1/zK，则Yp5（8，8）=Yp4（8，8）+Yp5（8，8）15，Yp5其余元素与Yp4一致。这样便确定了最终节点导纳矩阵Yp5的全部元素，因此，新型换流变压器故障模型可以求得

2）变压器不同侧的节点同时发生断线故障

设新型换流变压器节点H发生C相断线故障，同时节点K发生A相断线故障，即图3的支路3与节点③、支路13与节点⑦断开。发生断线故障后，支路3和13从电网络中被移除，因此需要消去这两个支路对原网络方程作的贡献。在断线故障发生前，根据图3，支路3的电流从参考节点出发，流入节点③，支路3是电流源支路，因此支路3对节点③的贡献为：I（3，1）3=IS3。消去支路 3 对网络方程的贡献，则 I（3，1）=0；支路 13 接在节点⑦和参考节点之间，支路13的电流从节点⑦出发，流入参考节点，则支路13对节点⑦的贡献为：Yp3（7，7）13=1/zK。消去支路13对节点⑦的贡献，相应的节点导纳矩阵变为Yp6，则有Yp6（7，7）=Yp3（7，7）-Yp3（7，7）13，Yp6其余元素与Yp3一致。因此可得到新型换流变压器不同侧的节点同时发生断线故障的数学模型为

式（6）的电流源列向量 I（3，1）=0。

3）耦合支路端点断线故障

设新型换流变压器耦合支路6从节点⑦处断开，发生该故障后，支路6从电网络中被移除，因此需要消去该支路对原网络方程作的贡献。

由图2可见，4～6为耦合支路，耦合支路的电流均流入同名端，互相耦合支路的自阻抗分别为

互阻抗分别为

设Zt表示互相耦合支路阻抗矩阵，则有

耦合支路4～6的约束方程可以表示为

由式（14），耦合支路电流用支路电压表达为

式中，Yt表示耦合支路的导纳矩阵，且有

根据图3所示的有向图，将式（16）改写为

设Yt（i，j）为矩阵Yt的i行j列的元素，将式（17）展开，耦合支路4～6的电流可写为

由式（18），根据图2所示的有向图，可确定支路6对原节点导纳矩阵的贡献。

在断线故障发生前，支路6的电流从节点⑦流出，流入节点⑧，支路6对节点⑦的贡献为

支路6对节点⑧的贡献为

设消去支路6对原节点导纳矩阵贡献后的节点导纳矩阵为Yp7，则有

Yp7其余元素与Yp3一致。这样便确定了最终节点导纳矩阵Yp7的全部元素，因此，新型换流变压器耦合支路端点断线故障的模型可以求得

3 算例

现结合具体算例来验证本文所设计的新型换流变压器纵向不对称故障计算方法的正确性。新型换流变压器（原理变压器）部分设计数据如表1所示。

表1 新型换流变压器（单相）部分参数值Tab.1 Partial parameter data of the new converter transformer（single-phase）

本文根据文献[2]中新型换流变压器的接线方案和表1所示的单相设计参数值，采Matlab/Simulink中的电力系统仿真模块（PSB）建立了图3所示的含新型换流变压器的电力系统仿真模型，该仿真模型可以用来对实际算例进行仿真，参照图3所示的新型换流变压器有向图，其仿真结果与采用本文方法编程计算的程序运行结果相比较。

3.1 新型换流变压器简单纵向不对称故障计算算例

（1）设新型换流变压器节点H发生A相断线故障，仿真结果与计算结果对比如表2所示。

（2）设新型换流变压器节点H发生B、C相断线故障，仿真结果与计算结果对比如表3所示。

3.2 新型换流变压器复杂纵向不对称故障计算算例

设新型换流变压器节点H发生C相断线故障，同时节点K发生A相断线故障，仿真结果与计算结果对比如表4所示。

表2 节点电压结果对比（Ⅰ）Tab.2 Results comparison of the nodal voltage（Ⅰ）

表3 节点电压结果对比（Ⅱ）Tab.3 Results comparison of the nodal voltage（Ⅱ）

表4 节点电压结果对比（Ⅲ）Tab.4 Results comparison of the nodal voltage（Ⅲ）

由上面的算例可以看出，用本文方法编写的程序计算结果和用Matlab/Simulink的仿真结果十分吻合，从而验证了本文设计的新型换流变压器纵向不对称故障计算方法的正确性。

4 结语

基于新型换流变压器正常状态数学模型，本文采用添加法计算新型换流变压器各种纵向不对称故障，其故障计算的思路是根据新型换流变压器纵向不对称故障的类型，通过修改故障支路对正常状态网络方程的贡献来建立新型换流变压器的纵向不对称故障数学模型，并对修改后的数学模型进行求解。

本文不仅给出了电流源支路、滤波支路端点处端点处发生断线故障的计算方法，还详细给出了耦合支路端点处发生断线故障的计算方法，是对文献[15-16]的后续有益补充，对新型换流变压器继电保护参数整定、实现新型换流变压器及其滤波系统自动化控制和安全经济运行具有重要的理论意义和实际价值；也拓宽了添加法的应用范围。

本文设计的新型换流变压器纵向不对称故障计算的方法简单，修改模型方便，计算量少；其故障建模过程可以清晰展现故障支路对网络方程贡献的大小及其出现在网络方程中的位置的变化，物理含义很明确。

[1]刘福生.自耦补偿与谐波屏蔽整流变压器[P].中国：ZL200320124015.6，2005-01-05.

[2]许加柱，罗隆福，李季，等（Xu Jiazhu，Luo Longfu，Li Ji，et al）.自耦补偿与谐波屏蔽换流变压器的接线方案和原理研究（Principle and connection scheme of self-coupled compensating and suppressing harmonic converter transformer）[J].电工技术学报 （Transactions of China Electrotechnical Society），2006，21（9）：44-50.

[3]张杰，罗隆福，Aggarwal R K，等（Zhang Jie，Luo Longfu，Aggarwal R K，et al）.基于多线圈耦合的新型换流变压器仿真模型设计（Simulation model′s design of a new converter transformer based on multi-coil coupling）[J].电工技术学报（Transaction of China Electrotechnical Society），2010，25（11）：68-79.

[4]Luo Longfu，Li Yong，Xu Jiazhu，et al.A new converter transformer and a corresponding inductive filtering method for HVDC transmission system[J].IEEE Trans on Power Delivery，2008，23（3）：1426-1431.

[5]Li Yong，Luo Longfu，Rehtanz C，et al.Study on characteristic parameters of a new converter transformer for HVDC systems[J].IEEE Trans on Power Delivery，2008，24（4）：2125-2131.

[6]罗隆福，张杰，李勇，等（Luo Longfu，Zhang Jie，Li Yong，et al）.基于稀疏列表法的新型换流变压器数学模型（The new-type converter transformer's mathematical model based on sparse tabular）[J].电工技术学报（Transactions of China Electrotechnical Society），2008，23（4）：59-65.

[7]何仰赞，温增银，汪馥英，等.电力系统分析[M].武汉：华中理工大学出版社，1996.

[8]曹炎生（Cao Yansheng）.三相参数不对称电力系统简单故障的计算机算法（Computer algorithm for simple faults in unbalanced three-phrase power systems）[J].电力系统及其自动化学报（Proceedings of the CSU-EPSA），1995，7（4）：41-49.

[9]陈青，江世芳（Chen Qing，Jiang Shifang）.一种求解电力系统复杂故障的新算法（A new algorithm for complicated fault calculation in electric power system）[J].中国电机工程学报（Proceedings of the CSEE），2000，20（9）：41-43，49.

[10]王春，陈允平，谈顺涛，等（Wang Chun，Chen Yunping，Tan Shuntao，et al）.电力系统复杂故障通用算法的研究（The study of generalized algorithm for simultaneous faults in power system）[J].中国电机工程学报（Proceedings of the CSEE），1995，15（6）：417-422.

[11]刘万顺.电力系统故障分析[M].北京：中国电力出版社，1998.

[12]Brandwajn V，Tinney W F.Generalized method of fault analysis[J].IEEE Trans on Power Apparatus and Systems，1985，104（6）：l301-1306.

[13]Berman A，Xu Wilsun.Analysis of faulted power systems by phase coordinates[J].IEEE Trans on Power Delivery，1998，13（2）：587-595.

[14]邓木生（Deng Musheng）.新型换流变压器断线故障计算（New Converter transformer′s broken-line faults calculation）[J].电力系统及其自动化学报（Proceedings of the CSU-EPSA），2011，23（4）：100-105.

[15]程少庚，崔杜武，刘小河.电网络分析[M].北京：机械工业出版社，1993.

[16]张杰（Zhang Jie）.新型换流变压器故障建模及保护原理研究（The Research on Faulty Model Building and Protection Principle for New Converter Transformer）[D].长 沙 ：湖南大学电气与信息工程学院（Changsha：College of Electrical and Information Engineering of Hunan University），2010.

[17]张伯明，陈寿孙，严正.高等电力网络分析[M].北京：清华大学出版社，2007.

[18]姜彤，郭志忠，陈学允（Jiang Tong，Guo Zhizhong，Chen Xueyun）.线路断线条件下的一种故障计算新方法（A new method of fault calculation on open-conductor condition）[J].继电器（Relay），2003，31（2）：14-17.