李小飞，严证

（1.长江大学工程技术学院，湖北 荆州434020；2.茨城大学理学部，日本 茨城3108512）

0 引言

设A表示在单位圆盘U＝｛z：｜z｜＜1，z∈C｝内单叶解析且具有泰勒展开式：

的函数族.用K（γ）（0≤γ＜1）表示传统意义上的γ阶凸函数族，即

β－UCV（α）表示A中满足下面条件的函数f构成的函数族：

β－K（α）表示A中满足下面条件的函数f构成的函数族：

这里－1≤α≤1，β＞0.对此函数族及其特殊的函数族，近20年有很多作者进行过研究并得到了一些十分重要的结论.2010年，Breaz等［1］特别研究了函数族β－UCV（α）和β－K（α）的凸性.

2002年，Nishiwaki等［2］又提出了新的思想.设ρ＞1，用N（ρ）表示A中由满足下面不等式的函数组成的函数族：

N（ρ）的定义是有意义的，如取f（z）＝（1／（2ρ－1））｛1－（1－z）2ρ－1｝.特别地，当时，Uralegaddi等［3］对函数族N（ρ）的系数不等式等进行过研究，对于同形式的其他函数族，Nishiwaki等［4－6］做过相应的研究.用ND（α，β）表示A中由满足下面不等式的函数f（z）构成的函数族：

用MD（α，β）表示A中由满足下面不等式的函数f（z）构成的函数族：

这里α＞1，β≤0，z∈U.函数族ND（α，β）和MD（α，β）由Nishiwaki等［7］引入.对于此函数族，目前的文献并不多，且集中在基础性质的研究.

对于fi（z）∈A，γi＞0（i＝1，2，…，n），Breaz等［8－10］定义了积分算子函数Fn（z），Gn（z）和In（z）：

这里α＞1，β≤0，z∈U.本文中利用解析函数的性质和解不等式的技巧，研究函数族MDg（α，β）的系数不等式和函数族 ND（α，β）和 MD（α，β）中的积分算子函数Fn（z），Gn（z），In（z）的性质.

1 主要结果

定理1.1 若函数f（z）∈A 由（0.1）式定义，g（z）由（0.5）式定义，且满足下面不等式

则f（z）∈MDg（α，β），这里α＞1，β≤0，z∈U.

定理1.1的证明 为了方便，记cj＝ajbj.假设f（z）∈A 由（0.1）式定义，g（z）由（0.5）式定义，且不等式（1.1）式成立，即

现记

所以f（z）∈MDg（α，β）.定理得证.

定理1.2 若fi（z）∈ND（αi，βi），αi＞1，βi≤0（i＝1，2，…，n），则Fn（z）∈N（ρ），这里

定理1.2的证明 由Fn（z）的定义，得

利用条件（0.3）式，得

推论1.3 若fi（z）∈ND（α，β），α＞1，β≤0，则Fn（z）∈N（ρ），这里ρ＝1＋（α－1）

推论1.3的证明 在定理1.2中令α1＝α2＝…＝αn＝α，β1＝β2＝…＝βn＝β即可.

推论1.4 若f（z）∈ND（α，β），α＞1，β≤0，则 Fγ（z）∈N（ρ），这里ρ＝1＋（α－1）γ，Fγ（z）＝

定理1.5 若fi（z）∈MD（αi，βi），αi＞1，βi≤0（i＝1，2，…，n），则Gn（z）∈N（ρ），这里

定理1.5的证明 由Gn（z）的定义，得

利用条件（0.4）式，得

推论1.6 若fi（z）∈MD（α，β），α＞1，β≤0，则Gn（z）∈N（ρ），这里

推论1.6的证明 在定理1.5中令α1＝α2＝…＝αn＝α，β1＝β2＝…＝βn＝β即可.

推论1.7 若f（z）∈MD（α，β），α＞1，β≤0，则 Gγ（z）∈N（ρ），这里ρ＝1＋（α－1）γ，Gγ（z）＝

定理1.8 若fi（z）∈MDgi（αi，βi），αi＞1，βi≤0（i＝1，2，…，n），则In（z）∈N（ρ），这里

定理1.8的证明 由In（z）的定义，容易验证In（0）＝I′n（0）－1＝0，且

将（1.3）式变形，得

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