俞道滨，吴彦鸿，朱卫纲

(1.装备学院信息装备系，北京 101416;2.装备学院 光电装备系，北京 101416)

0 引言

2006年，国际著名信号处理专家Simon Haykin 首次提出了认知雷达的概念［1-3］，对认知雷达系统各部分的实现进行说明。认知雷达将跟踪系统、波形发射系统以及目标场景视为一个闭环的整体，通过对波形的调节实现对目标的有效跟踪，提高了雷达跟踪性能。

对于雷达跟踪波形的研究，Kershaw和Evans［4］第一次提出了跟踪系统波形自适应选择理论。他们在声纳系统中利用原点处的模糊函数建立测量误差和波形参数的关系，通过最小化估计误差来得到最优波形选择的方法。Simon Haykin 在宏观上给出了贝叶斯目标跟踪器通过综合多个传感器对环境的感知和其他一些先验信息，将统计的参数估计和环境概率决策传递给环境智能理解模块，通过对一组具有不同脉宽和调频率的LFM信号的选择得到发射波形。他的学生Xue Yanbo 也应用此方法［5］针对3 种不同场景进行了仿真。

对于构建波形库进行波形选择的研究，A.W.Rihaczek［6］根据模糊函数的不同将波形分类，并根据各类的特点应用了较简单的波形库选择策略。Delong和Hofstetter［7］考虑了发射波形的自适应选择，分别研究了在一定动态范围内的幅值与相位的调节。在认知雷达的概念提出后，在这方面的研究进展较快。Cochran［8］着重研究了波形库的建立和波形调度算法，从信息论的角度提出了由6 种波形建立的波形库，并分别采用单步调用、多步调用和无调度算法对跟踪性能进行了比对。Suvorova［9］建立波形库实现对最优波形的选择，提出了波形库的优化准则。国内方面对之讨论相对较少，国防科技大学的夏洪恩［10］在声纳系统和雷达系统中验证了LFM波形库建立对跟踪性能的提升。

1 信号模型

在雷达信号建模中，运动目标的距离和多普勒信息是所需考虑的基本变量。假设雷达发射的基带信号为s(t），则雷达发射的窄带脉冲sT(t）可以表述为

式中，ωc为载波频率，ET为发射脉冲的能量，Re{ }·表示取实部。雷达接收信号可以表述为

式中，Ø 是随机的相移，ER是接收信号的能量，n(t）为基带上零均值的高斯白噪声，参数τ和v分别为目标的时延和Doppler 频移。在对运动目标跟踪时，通过发射和接收信号的建模可以对距离和速度信息进行实时获取。

2 跟踪算法

在目标线性运动、环境高斯噪声情况下，卡尔曼滤波就是最优的贝叶斯滤波器。此处就引入波形参数后的卡尔曼滤波算法作简要说明。

设{θ1，θ2，θ3，…，θk}∈Θ为波形参数的可选集合，θk为k时刻发射的波形，那么测量噪声协方差为N(θk），由卡尔曼滤波可知，测量信息协方差为

增益为

滤波值为

滤波协方差为

k+1时刻的预测值为

k+1时刻的预测协方差为

通过以上卡尔曼滤波基本步骤的交替进行，可获得目标状态与量测的更新值，实现对目标的跟踪。

3 发射波形与测量噪声的关系

对于波形自适应目标跟踪的研究，可通过信号检测估计的理论将波形参数引进测量噪声协方差，从而建立了发射波形和跟踪算法之间的关系。由于测量噪声协方差阵N(θk）和模糊度函数A(τ，v）存在如下关系:

式中θk为波形参数向量，而

为过渡矩阵;J为A(τ，v）关于时延τ和多普勒频移v的fisher信息矩阵，J－1即为对时延τ和多普勒频移v无偏估计的Cramer Rao 下限。对于理想的匹配滤波器输出而言，噪声协方差矩阵可由其相应的CRLB 值代替，从而代入目标的跟踪方程，得到相应的更新值。

4 波形选择准则

4.1 波形选择准则

波形选择准则是下一时刻选择发射什么样的波形的依据，它与跟踪的目的紧密相关，不同的跟踪目的将有不同的波形选择准则。本文采用两个常见的准则，一个是均方误差最小准则，目的是使每个时刻状态估计误差的均方最小，也就是使状态空间每个维数上跟踪误差的平方和最小;一个是门限体积最小准则，这个准则是从测量空间考虑的。最小化确认门限体积是指使k时刻测量空间的体积最小，它能够减少在高密度杂波下的虚假测量数或者高噪声情况下的测量误差。两个准则的表达式分别为

两种准则的选取均具有一定的合理性，采用何种准则视研究开展的情况而定，就目标跟踪的精确度和准确性而言，两个准则均能用来反映对目标跟踪性能的优劣。

4.2 波形选择准则的推导

本文采用单步预测优化波形的方法，对以上两个波形选择准则的进一步推导如下:

对于最小均方误差准则，其基本思想是优化状态向量xk，使得预测值与真实值之间误差的期望最小，得到

当环境噪声满足高斯分布时，进一步推导得:

因此，选择使协方差的迹为最小的波形可以有效降低跟踪的均方误差。

对于门限体积最小准则，其基本思想是优化由yk定义的量测空间。在目标存在的前提下，门限体积是在预测值H）xk+1|k附近的一个取值空间，其中量测值在门限值内的概率为PG。如果k+1时刻的更新值为vk+1=yk+1－H）xk+1|k，门限体积可表示为

其中g 是门限内拟合点的数量，当g ＞M1/2+2时，PG＞0.99，M为yk+1的维数。因此，当g的值越大时，对量测值的预测越准确，由关系式

因此，使得Sk+1(θk+1）的行列式最小的波形可以提高对量测值的预测，提高检测概率。

5 系统框图

对于环境中的雷达系统框图建立如图1所示，通过对波形库中波形的调用实现波形的实时选择。本文讨论的重点在于波形库中波形的调用对跟踪性能的提升，因而忽略环境中的杂波及较高的噪声，应用匹配滤波器处理回波信号，针对高斯白噪声、线性运动的目标进行仿真。

图1 雷达系统框图

雷达各种信号参数的变化不是各自独立的，而是各参数之间存在着相互制约的关系。在选择和设置信号参数时，必须考虑各种不同雷达信号参数之间的相互制约关系。一般情况下，往往采用几种不同的发射信号波形，使各种波形适应各自的特定用途。本文采用3 种典型的雷达信号波形(见图2），在跟踪不同距离、不同速度的目标时具有各自的特点，综合进行选择调用最优的发射波形从而提高雷达的跟踪性能，减小误差。

图2 波形库选择方案

6 数值仿真验证

文献［4］对3 种波形在发射能量一致的前提下对3 种波形的相关参数进行了说明和推导。波形库中的波形均采用脉冲信号，波形1、波形2、波形3的函数表达式为

对于三角脉冲信号，其有效脉冲宽度取为2λ;对于高斯调制的脉冲信号和LFM信号，其有效脉冲宽度取为7.4338λ。3 种信号的基本形式如图3所示。

图3 3类波形时域表达示意图

值得注意的是，在对三角连续波和高斯调制脉冲信号进行幅度调制时，有一个变化的参数;对高斯调制线性调频信号的脉宽和调频率同时进行改变，有两个变化的参数。仿真所应用的系统及环境相关参数如表1所示。

表1 仿真所选参数

目标跟踪的初始协方差矩阵为

相应的跟踪方程参数为

设雷达的有效观测距离为30 km，则信噪比可以表示为

根据波形选择准则实时地选取最优信号。两种准则下，均应用单步预测单步调用的方法保证信号发射与处理的实时性，初始波形均选为三角脉冲。

需要说明的是，在均方误差最小准则下，由仿真得高斯调制LFM信号的调频率对协方差的迹影响不大，可以忽略，故可以设为一个固定值。经过500 次蒙特卡罗仿真运算，得到在两种准则下波形选择策略的仿真结果如图4所示。

在上述两种波形选择策略下，对3类波形建立的波形库进行选择得到两个参数的实时变化，其仿真结果如图5。

图4 两种准则下的波形选择策略

图5 两种准则下波形参数的变化

图6 性能指标变化仿真图

由第4 部分的分析可知，对于两种准则的评价标准，可以分别采用门限体积和协方差的迹来体现引入波形库对性能提升，二者分别提升了雷达的检测概率和跟踪精度。由图6 可以看出，在门限体积最小准则下，目标运动的末段门限体积明显减小，改进了远距离目标的检测精度;在均方误差最小准则下，协方差的迹均小于无波形库的情况，说明该方法达到了降低跟踪误差的目的，具有一定的实用性。

综合分析以上结果可知，对于门限最小体积准则，在初始阶段目标距离较近，选用波形3 可使门限体积值保持在一个较小的范围内，在跟踪的过程中调频率不断增加，以保持在跟踪过程中测量空间的体积较小。当目标远离时，系统依据准则选用波形1，可以使目标在距离较远时保持一个较高的检测概率，且对速度有较好的跟踪效果。所建立的波形库在确定策略后，通过两种波形的结合实现门限体积的控制，与单类波形的性能相比在运动末端性能提高较大。对于最小均方误差准则，在初始阶段对调频率的要求较低，故中间过程中两次调用能量集中的高斯脉冲，得到了相对较低的跟踪误差。当目标远离时，采用波形3 且脉宽参数趋于最大值，集中能量获得较低的跟踪误差。所建立的波形库在确定策略后，与单类波形相比，通过协方差的迹体现的跟踪误差对比亦较明显。

可见，在对目标的检测与跟踪有不同的要求时，波形库对波形的调用会发生很大的变化，使得所关注的指标保持在一个相对较小的范围内，实现波形库建立对于目标跟踪性能的提升。

7 结束语

传统雷达的目标跟踪选用固定的发射波形，在认知雷达闭环反馈的基础上，通过对发射波形的实时改变，可以提高目标跟踪的性能。本文以简单的高斯噪声、线性运动目标为例，根据发射波形与环境噪声之间关系详述了单步预测单步调用的波形选择方法，建立了一个具有3类不同特点发射波形的波形库，通过两个常用的波形选择准则实现对跟踪波形的选择。本文仿真了在两种准则下基于波形库的波形选择方法，得出了有益的结论，即由于在不同准则下跟踪的需求不同，使波形库调用波形的策略发生改变，雷达的跟踪性能得到相应的提高。

［1］Haykin S.Cognitive radar:a way of the future［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2006，23(1）.

［2］Haykin S，Yanbo Xue，Timothy N.Davidson Optimal Waveform Design For Cognitive Radar［J］.IEEEAsilomar，2008:3-7.

［3］Haykin S，Amin Zia，Arasaratnam I，et al.Cognitive tracking radar ［J］.IEEE Xplore，2010:1467-1470.

［4］Kershaw D J，Evans R J.Optimal waveform selection for tracking systems［J］.IEEE Transactions on Information Theory.1994，40 (5 ）:1536-1550.

［5］Xue Yanbo.Cognitive Radar:Theory and Simulations［D］.McMaster University 2010.

［6］Rihaczek A W.Radar Waveform Selection-A Simplified Approach［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1971，AES-7(6）:1078-1086.

［7］D F Delong，E M Hofstetter.On the design of optimum radar waveforms for clutter rejection［J］.IEEE Trans.on Information Theory，1967，13(3）:454-463.

［8］Cochran D，Suvorova S，Howard S D，et al.Waveform Libraries［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2009，26(1）:12-21.

［9］Suvorova S，Howard S D，Moran W，Waveform libraries for radar tracking applications//Waveform Diversity Conference，2004.

［10］夏洪恩.基于目标跟踪的波形自适应选择技术［D］.长沙:国防科技大学，2010.