卢占化,曹林芬（河南师范大学数学与信息科学学院,河南新乡453007）

关于正定矩阵的两个定理

卢占化,曹林芬
（河南师范大学数学与信息科学学院,河南新乡453007）

引入矩阵反顺序主子式及相关顺序主子式的新概念,并运用反顺序主子式和相关顺序主子式刻画了实对称矩阵的正定性,为研究实矩阵提供了新的思路.同时,给出具体的例子说明了这类矩阵的存在性.

顺序主子式；实对称矩阵；反顺序主子式；相关顺序主子式

实对称矩阵正定性问题是高等代数的重点内容之一[1-3].矩阵的正定性与矩阵的特征值与实二次型、顺序主子式都有密切联系[1,4-5],并且这部分内容对于几何学中相关问题的研究也有极大帮助.众所周知,一实对称矩阵正定的充分必要条件是它的各级顺序主子式大于零[1].这个结论揭示了矩阵正定性与顺序主子式之间的联系.矩阵正定性是实对称矩阵的重要内容之一.本文引入矩阵的反顺序主子式及相关顺序主子式的概念,利用分块阵的初等变换以及归纳方法证明了实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的各级反顺序主子式大于零；实对称矩阵A正定充分必要条件是A的各级相关顺序主子式大于零.对进一步研究矩阵,研究二次型及二次型的应用有重要参考意义[6].

1 反顺序主子式

定义1设A为n级方阵

一般地,n级方阵A的反顺序主子式恰为n个.

定理1若A为n级实对称矩阵,则A为正定矩阵的充分且必要的条件为A的各反……