柳影

(广西电力工业勘察设计研究院，广西 南宁 530023)

电力系统潮流算法发展综述

柳影

(广西电力工业勘察设计研究院，广西 南宁 530023)

介绍了经典的高斯－赛德尔迭代法和牛顿法，以及牛顿法的演变方法;并介绍了优化算法在潮流计算的应用情况。最后总结了各种算法的特点及适用范围，为电力工作者选择合理的潮流算法提供参考。

潮流计算;牛顿法;张量法;潮流优化算法

1 引言

电力系统潮流计算是电力系统稳态运行分析中最基本和最重要的计算之一，也是电力系统其他分析计算的基础。根据给定的运行条件及系统接线方式确定整个电力系统各部分的运行状态。在电力系统的规划设计和运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。潮流计算的任务是采用一定的方法确定系统中各处的电压和功率分布。由于电压与功率之间是非线性关系，因此潮流方程是非线性方程，从而使得潮流计算的确定性算法只能采用迭代法求解。本文不仅介绍了潮流计算的一些经典算法，而且对新型的计算方法也作了总结。经典算法有高斯－赛德尔迭代法及牛顿法等，近年来学者们开始应用非线性规划法及智能算法等优化方法求解潮流问题，提高了收敛的可靠性。

2 潮流计算的数学模型

在工程实际中，潮流计算可归结为已知各节点的注入功率，求解各节点的电压向量，进而计算各支路功率。从数学表达式来看，潮流方程的基本表达为节点功率方程式。由于节点电压可以表示为直角坐标的形式:˙Vi=ei+jfi，也可以表示为极坐标得形式:˙Vi=Viejθi，则节点功率方程具有两种表达形式:直角坐标形式及极坐标形式，分别为［1］:

其中:n—系统节点数;

Pi、Qi—节点i的有功和无功注入;

ei、fi—直角坐标节点电压的实部和虚部;

Gij、Bij—节点i和j之间的互电导和互电纳;

Vi、θi—极坐标节点电压的幅值和相角;

θij= θi－ θj—节点i、j之间的相角差。

潮流计算时，一般节点为PQ节点，其有功P、无功Q为给定的，节点电压为待求量。另外，根据电力系统的实际运行情况，还设置PV节点及平衡节点。PV节点的无功Q可在一定范围内调节，以维持电压幅值不变;平衡节点的有功P可以调节，以使得系统有功平衡，每个网络至少有一个平衡节点。但是，对PV节点，若其无功在计算中已经越限，则需要将其转换为PQ节点进行计算，即PV-PQ转换。

由式(1)、(2)可以看出，在数学上是一组多元非线性方程式的求解问题，其解法离不开迭代。因此，对于潮流方程的求解方法，首先要求能够可靠的收敛，并给出正确的结果。随着电力系统规模的不断扩大，潮流问题方程式的变量维数越来越大(目前已经达到几千维甚至上万维)，对于这样大规模的方程式，并不是采用任何数学方法都能保证正确的求解。长期以来，学者们进行了大量的研究，以保证算法收敛的同时求得准确、可靠潮流解。

3 潮流计算的经典方法

3.1 高斯－赛德尔迭代法

高斯－赛德尔迭代法开始于上世纪50年代，是一种直接迭代求解方程的算法，既可以解线性方程组，也可以解非线性方程组。高斯法求解节点电压的特点是:在计算节点i第k+1次的迭代电压时，前后所用的电压都是第k次迭代的结果，整个一轮潮流迭代完成后，把所有计算出的电压新值用于下一轮电压新值的计算过程中。

该计算方法简单，占用计算机内存小，能直接利用迭代求解节点电压方程，对电压初值的选取要求不是很严格，但它的收敛性能较差，当系统规模增大时，迭代次数急剧上升。为此，文献［2］在基本高斯－赛德尔迭代法基础上进一步改进，推导新的电压向量虚部的迭代公式，新方法减少了迭代次数，也提高了算法的适用范围。

3.2 牛顿法

牛顿－拉夫森法是求解非线性方程式的有效方法。上世纪60年代就开始应用于潮流计算中，该方法的核心为将非线性方程式的求解过程变为反复对相应的泰勒一次展开式的求解过程，也称为逐次线性化的过程。牛顿法的潮流求解过程大致分为以下几个步骤:

(1)给定节点电压的初值;

(2)根据节点功率方程，计算有功功率误差及无功功率误差，若满足收敛条件则输出潮流解;

(3)计算修正方程的系数矩阵(雅可比矩阵);

(4)求解修正方程式，得牛顿步长，并修正节点电压;

(5)返回(2)继续迭代。

从求解步骤可以看出，牛顿法求解潮流问题的过程，实际上是不断形成并求解修正方程式的过程。牛顿法的特点是收敛性比较好，一般潮流计算通常迭代6～7次就能收敛到非常精确的解，而且迭代次数与电力系统规模关系不大。

在牛顿法的初期研究中，由于计算机的水平有限，如何处理修正方程的内存要求和计算速度有着决定性的影响，牛顿法的应用一度受到了计算规模的限制。然而，随着计算机水平的发展，无需再对修正方程的处理进行苛刻的要求，因此牛顿法的适用范围得到扩大。目前，牛顿法已经成为潮流计算最为常规的算法。

3.3 P-Q分解法

P-Q分解法是从牛顿法的基础上演变而来。将节点电压向量表示为极坐标形式，潮流节点功率方程式采用式(2)表达，则可根据电力系统的实际物理特点，对牛顿法的数学模型进行适当简化。

由于高压电力系统中有功功率潮流主要与各节点电压相角有关，无功功率潮流则主要受各节点电压幅值的影响。大量的计算实践表明，牛顿法修正方程式中电压幅值对有功的影响及电压相角对无功的影响在数值上都是比较小的。因此，可以将有功功率只作为修正电压相角的依据，而无功功率作为修正电压幅值的依据，从而将二者的修正方程分离开来，前者为电压相角修正方程，后者为电压幅值修正方程，二者迭代就可以分开来进行。P-Q分解迭代的步骤大致是:

(1)给定电压幅值、相角的初值;

(2)计算各节点有功无功误差，若满足收敛条件则输出潮流解;

(3)根据相角修正方程修正电压相角;(4)根据幅值修正方程修正电压幅值;

(5)返回(2)继续进行迭代。P-Q分解迭代过程中，由于把2n阶的线性方程组变成了两个n阶的线性方程组，因此计算量和内存方面相对牛顿法都有所改善。因其简单快速的特点而得到了广泛的应用。

3.4 张量法

张量法的求解思想同样与牛顿法类似，但不同于牛顿法的基于泰勒一次展开式进行求解，张量法求解时采用二阶泰勒展开式，增加了关于步长的二次项进行计算，使得在雅可比矩阵条件数很大或接近不满秩的情况下，其收敛性明显好于牛顿法。张量法主要困难在于如何进行二次项的计算。文献［3］对直角坐标的潮流方程，引入了两种张量法进行求解，但要求张量方程具有零根。文献［4］在极坐标下通过直接计算潮流方程的二次微分，从而得到步长的二次项。该方法在潮流重负荷下明显改进了收敛性和计算速度。

4 潮流计算的优化方法

4.1 非线性规划法

非线性规划法即采用基于非线性规划模型的算法求解潮流问题。该类算法在数学上描述为求一个由潮流方程构成的目标最小化问题，如带最优乘子的牛顿潮流算法［5］。在给定运行条件下，若潮流问题有解，则目标值为零;若潮流问题无解，则目标值为一不为零的正值。因此，即使是在病态系统的情况下，迭代过程永远不会发散。但是，过去的这类算法存在模型复杂、不易编程等缺陷。

文献［6］基于L1范数计算原理，建立了新颖的最小化潮流计算模型，并转化为一个不含范数的非线性规划模型，然后采用现代内点法进行求解。该方法模型直观、编程方便、收敛性好，能够处理在潮流问题中的添加不等式约束的扩展潮流问题，使得潮流结果更接近实际运行情况。

文献［7］将潮流计算中的PV-PQ转换逻辑表示为互补问题，构造了潮流问题的严格混合互补模型，并转化为目标为常数的优化问题，进而结合内点法与互补松弛进行求解。该方法弥补了PV节点常规启发式逻辑转换不稳定的缺陷，提高了结果的可靠性。

4.2 智能算法

近年来，人工智能作为一种新兴的方法，也应用到电力系统潮流计算中。这种方法不依赖于精确的数学模型，基于对自然界和人类本身活动的有效类比而搜索潮流结果。文献［8］将潮流问题转化为最小化问题，并满足给定的PQ节点功率限制和PV节点电压幅值限制等约束，基于遗传算法的思想，设计了约束潮流遗传算法。该方法流程简单，收敛性好，能够求出满意的潮流解，而且能够求出静态顶值点的潮流解。

5 总结

本文从电力系统潮流算法发展的角度出发，介绍了几种主要计算方法及其特点。高斯－赛德尔迭代法是早期的一种直接迭代求解法，且收敛性不好，适用范围有限;P-Q分解法收敛性好，并减少计算量及内存要求，但是随着计算机水平的提高，牛顿法对计算量及内存的要求问题已不再突出，使得牛顿法在工程实践中得到广泛应用，已成为占主导地位的有效算法;张量法因计及了二次项而修正了牛顿方向，从而在重负荷情况下改善了算法的收敛性;非线性规划法、智能算法具有较好的鲁棒性，能够处理病态潮流问题，并能处理加入不等式约束的扩展潮流问题，这类算法的研究具有理论及工程实际意义。

［1］ 何仰赞，温增银．电力系统分析(下册)［M］．3版．武汉:华中科技大学出版社，2002:57－64．

［2］ 涂志军，曹晔，李伟，等．一种新型高斯赛德尔算法在电力系统潮流计算中的应用研究［J］．江西科技，2010，28(6):807 －809，813．

［3］ Salgado R S，Zeitune A F．Power flow solutions through tensormethods［J］．IET Generation，Transmission ＆ Distribution，2009，3(5):413 －424．

［4］ 林济铿，吴鹏，袁龙，等．基于张量法的电力系统潮流计算［J］．中国电机工程学报，2011，31(34):113 －119．

［5］ Iwamoto S，Tamura Y A．Load flow calculationmethod for ill-conditioned power systems［J］．IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1981，100(4):1736 －1743．

［6］ 韦化，阳育德．基于L1范数和现代内点理论的电力系统潮流计算［J］．广西大学学报，2007，22(1):31 －36．

［7］ 李保卫，韦化，李滨，等．潮流PV-PQ转换的混合互补方法［J］．电力系统自动化，2009，33(14):37 －40．

［8］ 张金奎，林荫字，杨传忠，等．基于遗传算法的潮流多根求解方法［J］．重庆大学学报，2000，23(1):56 －59．

Summary for Development of the Power Flow Com putation

LIU Ying
(Guangxi Electric Power Industry Investigation Design and Research Institute，Nanning 530023，China)

Not only classical algorithm is presented in the paper，there are Gauss-Seidel iterativemethod，Newtonmethod and its evolutions，butalso the applications of optimization algorithm for the power flow are introduced．At last，this paper summarizes the peculiarity for the various algorithms，and provides references for the electricity workers．

power flow computation;Newton method;tensormethod;optimization algorithm for power flow

TM71

B

1004－289X(2013)03－0010－03

2012－11－25

柳影(1981－)，女，重庆垫江人，硕士研究生，工程师，从事电力系统规划与设计相关工作。