彩色图像处理的可交换Clifford代数方法

2013-04-27郭立强

中国光学 2013年6期

关键词：彩色图像代数乘法

郭立强，朱明

（1.淮阴师范学院计算机科学与技术学院，江苏淮安223300；2.中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林长春130033）

彩色图像处理的可交换Clifford代数方法

郭立强1，2*，朱明2

（1.淮阴师范学院计算机科学与技术学院，江苏淮安223300；2.中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林长春130033）

采用可交换Clifford代数对彩色图像建模，充分利用彩色图像作为一个整体所具有的潜在颜色信息，实现彩色图像各颜色分量的并行处理，可完成彩色图像的整体处理。本文分析了彩色图像的表示方法，系统研究了一类可交换Clifford代数—，定义了上元素的四则运算规则、单位元、逆元、共轭、范数等。给出了基于可交换Clifford代数的彩色图像表示方法，并介绍了一个架构下的彩色图像处理实例：彩色图像边缘检测。与传统的四元数彩色图像表示方法相比，本文所提出的方法最大限度地去除了数据冗余，其算法复杂度也大大降低。结果显示，基于可交换Clifford代数的彩色图像表示方法可以应用到彩色图像处理中。

彩色图像；图像处理；可交换性；Clifford代数

1 引言

数字图像处理已有近半个世纪的研究历史，但传统的图像处理技术大多关注灰度或二值图像处理。近十几年来，传感器技术的发展使得获取、处理及存储彩色图像变得更加容易，在计算机视觉与模式识别、生物医学工程等领域中，图像中的颜色信息发挥了更重要的作用，彩色图像处理技术也越来越多地受到广大科研人员的重视［1-6］。

彩色图像处理大体上有3种方法：

第一种方法就是把彩色图像转换成灰度图像，利用比较成熟的灰度图像处理算法来间接地实现彩色图像处理。这种处理方法直接导致了彩色图像颜色信息的丢失，不利于后续的工程应用。

第二种方法采用分而治之的思想，即对于特定的彩色图像处理任务，先选用合适的颜色模型（如RGB、HSI、CMY、YCrCb等），把彩色图像在颜色空间按颜色分量进行分解来得到多个单通道图像。分解得到的单通道信息可以用灰度图像来描述，对每一通道图像用已有的灰度图像处理算法进行处理。目前，基于分通道的彩色图像处理的文献较多，但是，这方面已没有更新的理论突破。况且，对彩色图像按某一颜色模型进行分解，对各通道图像的处理以及最后对结果的融合过程中不可避免地发生信息丢失，整个处理过程是将彩色图像割裂开来进行的，忽略了彩色图像各分量间的内在联系，不能体现彩色图像像素作为一个整体所具有的色彩关联性。

第三种方法就是整体转换算法。简言之，不论采用什么颜色模型来表征彩色图像，都把彩色图像看成一个整体（类似于向量），对其进行直接处理。这种方法的理论还并不完善，这主要是由于多通道数据的矢量信号处理理论尚未完全建立，仍有许多潜力可挖。目前比较成熟的模型是四元数理论，即用四元数来表征彩色图像并进行相应的处理［7-15］。

在基于四元数的彩色图像矩不变量构造过程中，彩色图像是以纯四元数的形式进行建模，即：

I（x，y）=IR（x，y）·i+IG（x，y）·j+

式中，IR（x，y）、IG（x，y）和IB（x，y）分别是彩色图像I（x，y）的R、G和B颜色分量；i、j和k为3个相互正交的虚部算子，满足如下乘法规则：

用四元数来表征彩色图像的像素存在着数据冗余以及计算量大的缺点。冗余性体现在：四元数由1个实部和3个虚部构成，而彩色图像只有3个颜色分量。用3个虚部来表征彩色图像，经过一系列运算后，其数值结果是包含实部的一个四元数。计算量大体现在：一次四元数乘法是由十六次实数乘法和十二次实数加法构成。另外，由式（3）可知，四元数的乘法运算不满足交换律，不利于快速算法的设计。

为了解决四元数方法所固有的缺点，需要找到更好的数学模型来对彩色图像进行建模。本文研究了可交换Clifford代数（Clcom2），定义了Clcom2上元素的四则运算规则、单位元、逆元、共轭、范数等，给出了基于可交换Clifford代数的彩色图像表示方法。与传统的四元数彩色图像表示方法相比，本文所提出的方法最大限度地去除了数据冗余，同时其算法复杂度也大大降低。

2 可交换Clifford代数

本节系统研究了二维可交换Clifford代数及其相关知识。首先看一下Clifford代数的定义。

2.1 Clifford代数

近年来，Clifford代数已逐渐被工程技术领域的科研人员所重视［16-24］。Clifford代数又称为几何代数，由W.K.Clifford于1878年提出。Clifford代数结合了Hamilton的四元数和Grassmann的扩张代数，能够进行高维的几何计算。

对于整数n，［n］=｛1，2，……，n｝，［n］的幂集记为2［n］。Clifford代数定义如下：

定义1.对于n≥1的整数，2n维代数Clp，q，（p+q=n）定义为由｛ei|i=1，2，…，n｝生成的结合代数。其中，e0=eφ=1∈R，ei满足如下乘法规则：

Clifford代数的乘法是由2［n］的子集按字典顺序形成：

上述定义中，由集合｛1，e1e2，e1e3，e2e3｝生成的空间同构于四元数空间，也就是说，Clifford代数本身是四元数的高维推广，四元数是一类特殊的Clifford代数［17］。

由式（4）可知，Clifford代数的乘法运算不满足交换律。为了减少Clifford代数在工程应用中算法复杂度高的缺点，研究的重点集中在一类具有可交换性质（乘法运算满足交换律）的Clifford代数上。

2.2 可交换Clifford代数的定义

可交换Clifford代数定义如下：

定义2.可交换Clifford代数。在定义1的基础上，对于i=1，2，…，n，令

由式（4）可知，

同时定义：

由式（8）和（9）可知，“εi”的乘法运算满足交换律。记是由集合

由式（12）可以看出，f与g的乘法运算结果只含有ε1、ε2和ε12分量，没有多余的分量产生。

因此，二维可交换Clifford代数克服了以往四元数在进行彩色图像建模所体现出来的数据冗余性。

式（12）中：

同理，有

此外，

由式（13）～（15）可以看出，ε12是上的单位元。

式（17）中，Δ定义如下：

由式（19）得到如下方程组：

对上述方程组求解便得到式（17）中各个分量的值。上述方程组有解的前提是Δ≠0，因此并不是Cl

2com中所有的元素都存在共轭。由此，Cl2com上元素f的逆元定义为：

式中，IR（x，y）、IG（x，y）和IB（x，y）分别是彩色图像的R、G和B颜色分量。

具体地，把彩色图像的R、G和B颜色分量分别赋给二维可交换Clifford代数的ε1、ε2和ε12分量，把彩色图像以可交换Clifford代数值矩阵的形式进行重新表示。图像的各个像素都赋予了一个可交换Clifford代数的数据结构。

通过以上叙述，利用二维可交换Clifford代数实现了彩色图像的建模，该方法最大限度地降低了数据冗余性。可交换Clifford代数中的一次乘法运算是由九次实数乘法和六次实数加法构成，相对于四元数的乘法运算，其计算量明显降低。同时，可交换Clifford代数的乘法运算满足交换律，这样一来在具体的编程计算过程中，其计算复杂度远低于四元数。

3 应用

3.1 可交换Clifford卷积

则二维可交换Clifford卷积由式（25）给出。

式（25）与传统卷积的表达式一样，所不同的是f（x，y）和h（x，y）是取值于，并且积分结果也是一个二维可交换Clifford代数。

3.2 彩色图像边缘检测

把彩色图像以二维可交换Clifford代数的形式进行表示，把它与边缘检测模板进行可交换Clifford卷积运算，把卷积结果进行适当的归一及阈值化处理便可得到边缘图像。

x轴和y轴方向的边缘检测模板定义如下：

彩色图像边缘检测流程图如图1所示，把彩色图像与式（26）和（27）的模板进行卷积运算得到x轴和y轴方向的边缘信息Ex和Ey，然后计算接下来以E（x，y）中的最大值对其进行归一化处理。本文中，阈值为0.2，对E（x，y）逐像素点进行比较，凡是范数值大于0.2的像素点标记为边缘点，最终遍历E（x，y）中的所有值得到边缘图像。

图2是对经典的彩色图像进行边缘检测得到的结果。从图2中的三组实验可以看出基于可交换Clifford卷积的彩色图像边缘检测算法基本上能够检测出彩色图像中的有效边缘。

图1 边缘检测流程图Fig.1 Block diagram of edge detection

图2 彩色图像边缘检测试验Fig.2 Experiment of color edge detection

4 结论

针对四元数方法对彩色图像进行建模所带来的数据冗余及计算量大的缺点，本文提出了基于二维可交换Clifford代数的彩色图像表示方法。此外，本文还给出了上元素的四则运算规则、单位元、逆元、共轭、范数等。最后给出了基于二维可交换Clifford代数的应用：彩色图像边缘检测。从实验结果来看，本文算法能够有效地检测出图像中的彩色边缘。未来的工作将继续深入研究基于二维可交换Clifford代数的彩色图像处理算法。

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Commutative Clifford algebramethod for color image processing

GUO Li-qiang1，2*，ZHU Ming2
（1.School of Computer Science and Technology，Huaiyin Normal University，Huaian 223300，China；2.Changchun Institute of Optics，Fine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China）
*Corresponding author，E-mail：math_circuit@qq.com

By using the commutative Clifford algebramethod tomodel for a color image，the parallel processing of R，G and B components in the color image can be realized in a holisticmanner and the integrating processing for the color image can be implemented.This paper reviews the progress of color imagemodeling，researches a type of commutative Clifford algebra，namely Clcom2and gives the definitions of the arithmetic operations，unit element，inverse element，conjugation，and the norm for the commutative Clifford algebra.Then，it describes the expression of the color image based on the commutative Clifford algebra and introduces an application example of thismethod：the edge detection of color image.In comparison with the quaternion-based color imagemodeling，the proposed method can remove the data redundancy and reduce the computational complexity to the utmostextent.The proposed color imagemodelingmethod can be applied in color image processing tasks as a useful tool.

color image；image processing；commutativity；Clifford algebra

TP391.4

10.3788/CO.20130606.0885