郭月强，陈建春，王永军

(西安电子科技大学 电子工程学院，陕西 西安710071)

波达方向估计(DOA)是阵列信号处理中的重要研究内容之一，在雷达、声纳、通信等领域均得到了广泛应用。自20世纪60年代起，研究者们提出了多种有效的DOA估计算法，主要有Capon最小方差法以及Schimidt等提出的以多重信号分类(MUSIC)算法为代表的子空间类算法。近年来，由Donoho等人提出的压缩感知(Compress Sensing，CS)理论［1－2］受到了关注，已被广泛应用于图像处理、通信等领域［3－4］。压缩感知理论指出若信号是可压缩的或稀疏的，则可利用远低于奈奎斯特频率的采样速率对信号进行采样，通过求解一个l1最小范数优化问题，以较高的概率精确重构原信号［5］。实际中空域感兴趣的目标信号只占据少量的角度分辨单元，相对于整个空间而言目标在空域内是稀疏的，因此压缩感知［6］理论在DOA估计中也得到了广泛研究。针对以上问题，文中提出一种新的基于奇异值分解的多矢量欠定系统聚焦求解算法(SVDMFOCUSS)，实现了DOA高分辨估计。

1 压缩感知理论

1.1 信号稀疏性表示

CS理论成立的前提是信号为稀疏或可压缩的［7－8］。为简化模型，以便更清楚地描述信号的稀疏表示问题，仅考虑长度为N的实信号x，且有x=［x1，x2，…，xN］T。根据矩阵理论可知，x可用一组正交基Ψ=［Ψ1，Ψ2，…，ΨM］的线性组合表示，设对应的系数为si，i=1，2，…，N，则有

式中，si=＜x，Ψi＞，s与x为N维列向量，Ψ为N×N维矩阵。若信号x在基Ψ下仅有K(K≪N)个非零或远大于零的系数时，则称信号x为基Ψ上的稀疏信号。

1.2 投影测量矩阵设计

在CS理论中，通过变换得到信号的稀疏系数s=Ψ－1x后，需设计一个投影测量矩阵Φ。Φ必须保证:对信号x在该投影测量矩阵上进行投影得到M个投影测量值，且该M个测量值含有信号x大部分的信息，从而可使用少量的投影测量数据精确地重构信号x。

在压缩感知测量模型中，并不是对稀疏信号x本身进行直接采样，而是将x映射到投影测量基Φ=［φ1，φ2，…，φM］T上，得到投影测量值ym=＜x，φm＞，m=1，2，…，M。用矩阵形式表示为

其中，φm为N维列向量;y为M维列向量;Θ为M×N(M≪N)维矩阵;Φ称为感知矩阵或测量矩阵。目前，可用于压缩感知的测量矩阵主要有高斯随机矩阵和二值随机矩阵。

对于多快拍接收数据情况，设阵列接收快拍数为N，第i次快拍接收的信号矢量为yi，稀疏系数矢量为si，噪声矢量为ni，且服从正态分布，即ni～N(0，σ2I)，由式(2)可得

其中，Y=［y1，y2，…，yN］，S=［s1，s2，…，sN］，N=［n1，n2，…，nN］。

1.3 稀疏信号重构算法

稀疏信号重构是从少量的观测数据中重构原始信号，即从长度为M的观测数据中重构长度为N(M≪N)的原始信号。在信号重构过程中，由于观测数据长度M远小于信号的长度N，因此必须要面对求解欠定方程(2)的情况。理论上，最简单的方法是求解l0最小化范数问题

式(4)所示为s的l0范数问题，实际上是求解向量s中非零元素的个数。l0最小化范数问题从理论上看是最优的，但在实际中却难以实现，是一个NP难问题。

文献［9］指出，求解一个更简单的l1最优化问题可以产生与l0最优化问题等价的解

式(5)所示为s的l1范数问题，式(5)与式(4)只有很小的不同，但却使得问题变成了求解一个凸优化问题，可简化为线性规划问题。求解该优化问题的典型算法有:基追踪(BP)算法、正交匹配追踪(OMP)算法及多矢量欠定系统聚焦求解(MFOCUSS)算法等。

2 SVD－MFOCUSS算法

2.1 稀疏信号模型的降维表示

将式(3)的阵列接收数据矩阵Y用SVD分解表示为

对式(6)保留一个降维后的M×K维矩阵YSV，YSV保留了信号大部分的能量，且有

式中，DK=［IK，0］T，IK为K×K维单位矩阵;0为K×(T－K)维零矩阵。令SSV=SVDK和NSV=NVDK，则

比较式(3)和式(8)可知，阵列接收数据矩阵由M×NL维降低至M×K维，实际情况中，有K≪NL，因此通过求解式(8)进行DOA估计比直接求解式(3)运算量显著降低。此外，SVD分解本质上是一个信号分量累积的过程，这使得在低信噪比情况下也可采用稀疏重构算法进行有效的DOA估计。

2.2 稀疏信号模型优化求解

实际中目标信号在空域是稀疏的，在n个快拍期间，目标信号未跨角度单元移动，即在式(3)中有，，si与sj(i≠j)的非零元素位置相同，故S中仅有K行非0，其余的M－K行为0，所以S为行稀疏矩阵。由于SSV=SVDK的右乘矩阵为阵列初等变换，故SSV与S具有相同的系数特征。类似于信号矢量稀疏性的描述，稀疏矩阵行的稀疏特性可用其非零行的个数描述，即

因此，用MFOCUSS算法对稀疏问题(8)中的SSV进行估计，得到SVD－MFOCUSS算法的谱估计公式为

3 仿真实验分析

实验1考察两个相邻的非相干信号DOA估计情况，信号的入射角度分别为20°、22°，阵元数为8，阵列接收快拍数为200，信噪比为10 dB。图1为Beamforming算法、Capon算法、MUSIC的算法和SVD－MFOCUSS算法的空间频谱对比。由图1可看出SVD－MFOCUSS算法能有效分辨邻近目标信号，而Beamforming算法、Capon算法及MUSIC算法无法分辨这两种邻近目标，即说明SVD－MFOCUSS算法具有更高的角度分辨力。

图1 相邻非相干信号的空间谱估计

实验2比较各算法在不同信噪比情况下的DOA估计性能，信号入射角度分别为20°、30°，阵元数为8，阵列接收快拍数为200，信噪比分别为－10 dB和20 dB。图2为各算法在－10 dB时的空间谱估计对比。图3为各算法在20 dB时的空间谱估计对比。对比图3和图4可看出，在20 dB情况下，Capon算法、MUSIC算法和SVD－MFOCUSS算法可分辨两类信号，而Beamforming算法融合了两个谱峰;而在－10 dB情况下，唯有SVD－MFOCUSS算法和MUSIC算法可分辨两个信号，而Beamforming算法和Capon算法都融合了两个谱峰。由此说明SVD－MFOCUSS算法在低信噪比情况下同样具有良好的DOA估计性能。

图2 －10 dB时的非相干信号空间谱估计

图3 20 dB时的非相干信号空间谱估计

实验3考察相干信号的DOA估计情况，信号入射角度分别是20°、20°，阵元数为8，阵列接收快拍数为200，信噪比为20 dB。比较图4和图5可看出，在非相干信号情况下，Capon算法、MUSIC算法和SVDMFOCUSS算法可分辨出两个信号;在相干信号情况下，SVD－MFOCUSS算法任然可精确分辨出两类信号，而其他算法的DOA估计性能明显下降。

图4 非相干信号空间谱估计

图5 相干信号空间谱估计

4 结束语

提出一种新的基于CS的DOA估计算法，SVDMFOCUSS算法本质上是采用奇异值分解进行信号降维及能量积累，改善了传统稀疏信号恢复算法的应用范围，可在低信噪比情况下使用，且明显降低了计算量;同传统的DOA估计算法相比，SVD－MFOCUSS算法能对任意相干信号进行高分辨DOA估计，且具有良好的估计性能。

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