极限存在性证明的几种主要方法*

2013-04-13陆永良嵇建峰

湖州职业技术学院学报 2013年3期

陆永良，嵇建峰

(1.平湖市城关中学, 浙江　平湖　314200；2.湖州职业技术学院, 浙江　湖州　313000)

极限是数学分析的基本概念之一,用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。数学分析中的几乎所有其他概念，诸如：连续、导数、微分、定积分、级数收敛性、多元函数偏导数、重积分、曲线积分、曲面积分等，都直接通过极限理论得以严密化。极限是沟通常量与变量、有限与无限的桥梁。理解极限的精确定义,掌握极限存在性证明的方法都是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的基本问题。17世纪牛顿和莱布尼兹虽然完成了微积分的创立工作，但由于他们对极限概念还十分模糊，所以在微积分的基本理论上存在着明显的不严密性的缺陷，在逻辑上也有漏洞，以至于引发了第二次数学危机；直到19世纪，法国的柯西和德国的维尔斯特拉斯等人的工作，给出了极限、收敛概念的精确定义，确立了以极限论为基础的数学分析体系之后，才使微积分克服了逻辑上的困难，并使之建立在严格的理论基础之上。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则。

众所周知，极限在整个微积分学乃至整个数学学科的研究中都占有举足轻重的作用，几乎都直接或间接与极限有关。证明极限的存在的方法很多，本文将把分散于数学分析各章节中的理论和方法较系统地进行归纳，并针对证明极限的存在性这个中心问题的常用解题方法进行探讨。