武女则

(天津外国语大学 基础课教学部， 天津 300204)

1分数阶微积分的历史

从19世纪初开始, Liouville,Riemann等著名数学家开始系统地研究分数阶微积分理论.到目前为止,分数阶微积分的理论被广泛地应用到光学、信号处理和系统识别、图像处理、机器人、医学等自然科学的众多领域[2-5]．

2分数阶导数、积分的定义及运算法则

本文中用到的函数：

(1)[x]表示x的取整,即不大于x的最大整数.

Γ(z+1)=zΓ(z);

定义1[6]设α∈R+如果f(x)∈L1(R+)那么

称为f(x)的α阶Riemann-Liouville分数阶积分.

定义2[6]设α∈R+,且满足n-1≤α

称为f(x)的α阶Riemann-Liouville分数阶导数.

注:

(1)当n-1≤α

(1)

(2)Dnf(x)=f(n)(x),n∈N.

(2)

(3)当n-1≤α

Dn-1Dα-n+1f(x)

(3)

(4)当0<α<1时,

(4)

由(3)可知，研究α∈R+时,Dαf(x)的性质,只需研究0<α<1时的情况.

性质1[7]设λ,μ∈R,0<α<1,如果f(x)∈C1(R),则有

(1)Dα[Iαf(x)]=f(x);

(3)Dα[λf(x)+μg(x)]=λDαf(x)+μDαg(x).

性质2[8]设α∈R+,λ∈C,且满足0<α<1,则有Dαeλx=λαeλx.

性质3[8]设α∈R+,且满足0<α<1,sinx和cosx可表示为

其中：a2k+1=0,a2k=b2k+1=(-1)k,b2k=0(k∈Z)，则

性质4设α∈R+且满足0<α<1,如果f(x)∈C1(R),则有

(1)Dα[f(λx)]=λαDαf(u)|u=λx;

性质5设α∈R+,且满足0<α<1,则有

证明(1)由性质2及性质3易得结论.

3分数阶导数、积分奇偶性及周期性

定理1设α∈R+,且满足0<α<1,如果f(x)∈C1(R)是奇函数(或偶函数)，那么Dαf(x),Iαf(x)不再具有奇偶性.

证明由性质3，容易得到

于是如果f(x)是偶函数，则

Dαf(x)=Dαf(-x)=(-1)αDαf(u)|u=-x=eiπαDαf(u)|u=-x,

故而，Dαf(x)，Idf(x)都是非奇非偶函数.

如果f(x)是奇函数，则

Dα[f(x)]=-Dα[f(-x)]=(-1)α+1Dα[f(u)]|u=-x=eiπ(α+1)Dα[f(u)]|u=-x,

Iα[f(x)]=-Iα[f(-x)]=(-1)αIα[f(u)]|u=-x=eiπαIα[f(u)]|u=-x,

则Dαf(x)是非奇非偶函数.

定理2设α∈R+且满足0<α<1,如果f(x)∈C1(R)是以2l为周期的周期函数,则Dαf(x)也是以2l为周期的周期函数.

证明因为f(x)是以2l为周期的周期函数,则f(x)可表示为

故而,Dαf(x)也是以2l为周期的周期函数.

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