闫文爱, 张志让

(成都信息工程学院数学学院,四川成都610225)

0 引言

所讨论的群皆为有限群,文中所用符号为标准的,未交代的概念与符号可参见文献[1-2].

一个群称G为p-超可解的,如果G的任一主因子H/K为p阶或p′-群,如果任意素数p,G为p-超可解的,则称G为超可解群.p-超可解群与超可解群都是特殊而重要的群类,关于 p-超可解群的一个熟知的结论是一个可解群G为p-超可解的当且仅当它的每个极大子群的指数为p或为p′-数.许多群论专家都对超可解群进行了深入的研究,如文献[3]利用子群覆盖系统给出了 p-超可解群的重要刻画;文献[4]中利用子群的补充研究了p-超可解与p-幂零群的一些性质与判定准则.

研究有限群的超可解性和 p-超可解性的一个重要手段是利用子群的各类置换性质,特别是某些准素子群的置换性质,设A,B为群G的两个子群,如果 AB=BA,那么 A被叫做与B可置换的,群G的一个子群H如果与G的所有子群可置换,则称H为G的置换子群或拟正规子群[5].置换子群的概念以多种形式被推广,如文献[6-12]等所做的工作.特别地,在文献[6],作者引入z-置换子群的概念并给出了有限群结构的一些非常有意义的描述,这里将进一步推广z-置换子群的概念,并给出有限群p-超可解性的一些新的判别准则.

1 预备知识

设G是一个群,集合z称为群G的Sylow子群的完全集[6],如果对于任意的素数 p∈π(G),z恰好包含G的一个Sylow p-子群,设N是群G的正规子群,群G的子群集zN:

zN={GpN｜Gp∈z}

G/N的子群集zN/N:

zN/N={GpN/N｜Gp∈z}

群G的子群集z∩N:

z∩N={Gp∩N｜Gp∈z}

可以知道,zN/N,z∩N分别为G/N和G的Sylow子群的……