张俊娜，冯云芝

(河南师范大学计算机与信息工程学院，河南新乡453007)

1 引言

图像分割是图像处理领域的一项重要的研究内容，目标检测、识别和跟踪都取决于图像分割的质量，因此分割方法的选择直接影响到图像分析系统的性能，根据灰度、彩色、空间纹理、几何形状等特征把图像划分成若干个互不相交的区域，使得这些特征在同一区域内表现出一致性或相似性，而在不同区域间表现出明显的不同，因此图像分割方法是面向具体的问题［1］。

目前主要有最大后验熵法、一维二维最大熵法、最小交叉熵法、Renyi熵等方法［2］，它们要求最优解的时间过长而使应用受到限制。多阈值分割方法虽然可以用一系列单阈值分割问题解决，但这需要在全灰度范围内搜索一个最佳门限组合［3］。一些学者提出利用图像的二维灰度直方图的方法来进行阈值选取和图像分割，虽然能够有效地抑制噪声得到较高精度的分割图像，但运算速度慢，复杂性高，如果没有快速算法很难应用于实时处理。全局阈值算法在图像不太复杂、灰度分布较集中的情况下采用，如果子图像正好落在目标区域或背景区域，会产生更差的结果。动态阈值适应了空间灰度信息变化特征，抗噪声能力比较强，但是时间和空间复杂度比较大。

本文利用像素信息的最大熵，结合多阈值分割图像，确定图像像素时，选取符合这些像素但熵值最大的概率分布，在多阈值中通过量子比特信息选择最优阈值，这样较少运算量并且提高了图像的分割精度。

2 量子最大熵多阈值分割算法

2．1 最大熵

把图像的每个像素灰度划分为［0～255］等级，统计每个等级图像总像素数为M，则:，等级 i∈(0，255);Ni为第 i个等级像素总数;pi为第i个等级像素的概率，反映了图像中等级像素变化情况。

从而得到信息熵［4］:

其中

它表示图像中每个灰度级像素所传达的平均信息量。根据最大信息熵原理:在所有满足给定约束条件的概率密度函数中，信息量最大的概率密度函数就是最佳的概率密度函数。

设x为连续型随机变量［5］，概率密度函数为f(x)，则其满足以下条件:

式中，mi是x统计样本的第i阶原点矩，可由统计样本计算确定。

为使随机变量的熵E(x)在满足式zi(x)的条件下取得最大值，构造拉格朗日方程如下:

式中，λ0，λ1，…，λm为拉格朗日乘子。

由此可计算得出最大熵理论表示的随机变量为x的概率密度函数为:

在确定图像像素时，选取符合这些像素但熵值最大的概率分布。考虑到符合已知像素的概率分布可能不止一个，最大熵的求解原则:将已知事实作为制约条件，求得可使熵最大化的概率分布，最大熵值条件:设 Θ =［θ1，θ2，…，θn］是连续像素集［6］，π 为Θ上的概率密度，以εN(π)表示π的熵，它定义为:

如果已知关于θ的一部分先验信息，那么方便的方法是把这部分信息用对π(θi)的一些约束方式表达，即假设:

其中，gk(θ)为已知函数。在此约束下，令熵取最大值，此时的π(θi)作为θi的最大熵验前分布。θi的最大熵验前分布为:

其中，λk是由约束条件所确定的常数。

2．2 多阈值

先考虑单阈值选择，即把图像用一个灰度值分成背景和物体两个区域的情况。用p0，p1，…，pn表示灰度级的概率分布，如果把阈值设置在灰度级s，将获得两个概率分布，一个包含1到s间的灰度级，另一个包含 s+1到s间的灰度级［7］，这两个分布如下:

阈值s设置为F(s)。

多阈值的情况将上式变为:

其中，k是类数，阈值 s1，s2，…，sk设置为 F(s1)，F(s2)，…，F(sk)。

2．3 像素量子比特

像素量子比特为:

通过像素量子比特选取的阈值过程为，图像中像素点的集合为A，在灰度等级中第i个灰度级的概率为pi(i=0，1，…，255)，第 i个灰度级的所有像素量子比特为把图像分为N个子块，单一的子块为Aj(j=0，1，…，N)，则目标函数为:

当H(A，N)最小，即为图像的分割阈值。

2 ．4 图像分割

图像阈值化是一种实用的图像分割算法，但在实际应用中，由于阈值设定容易受噪声和光亮度的影响，很难有效地进行选择，所以应用受限;最大熵法是一种改进的图像阈值分割方法，最大熵法对不同信噪比和不同大小的目标均能产生较好的分割效果，应用较广。最大熵法包括一维最大熵法和二维最大熵法。由于噪声的影响，一维直方图得到的阈值并不能使图像得到满意的分割结果;二维最大熵法利用图像像素与其邻域平均灰度二维直方图分割，效果较好，但对于目标的一些边缘信息未能保留。本文方法不仅利用了图像的灰度信息而且使用了图像的梯度信息，使二值化后的图像保留更多的边缘信息［8］。

假设将原图像G分割成s部分而需要(s－1)个阈值［9］，将这些阈值记为 F(sj)，其中 j=1，2，…，s－1。且0＜F(si)＜F(sj)＜F(smax)，则分割所得第j部分所占整个图像的比例记为 η［F(sj－1，sj)］=h(j)，j=1，2，…，c。像素点的最佳分割阈值［10］为:

式中，F*ij为像点的最优阈值;ωij为选择整体阈值的

算法步骤:

(1)为F(s)选择一个初始估计值，可以将它取为图像中最大和最小灰度的中间值;

(2)使用阈值F(s)分割图像，灰度大于pi的像素组成区域G1，灰度小于pi的部分为G2;

(3)计算G1和G2区域中像素的各自平均灰度值G1和G2;

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(5)如果F^(s)与F(s)相等或者相差在规定的范围内，或者达到规定迭代次数，则可将作为最终阈值结果，否则重复(2)到(4)步的操作，直至满足要求。

3 实验仿真

对一幅1024×900图像进行最大熵阈值分割处理，所用程序为 Matlab 7．0，运行环境:CPU为3．6 GHz，内存2048 MB，操作系统 Windows XP，硬盘为SATA2接口。图1为原图，图2是像素等级分布图，图3最大熵多阈值分割图，图4最大熵单阈值分割图，图5最大熵双阈值分割图。从图2中我们可以看出，lena的图像灰度值主要在155左右，大约有2600个像素点，根据像素点的数量划分不同区域后选择最佳阈值。

图1 图像原图

结果显示:图3最大熵多阈值分割图效果好，考虑了图像的空间信息，从而对噪声的抑制能力较强，得到较高精度的图像，目标lena与背景分开，使分割后区域数目减少，边缘较光滑，通过分割且有效地保留了重要的信息。图4单纯采用最大熵单阈值算法很难实现图像分割恢复，虽然结合了灰度值和空间信息，但是所得的阈值仍然是整体阈值，分割时虽然充分利用了空间信息，分割结果仍然不够好，没有检出lena头发重叠情况下的所有边缘，造成区域的不正确合并，又产生许多区域空洞和碎片，在实际应用中单熵闽值分割的精度是比较差的。图5算法得到的结果中有一些背景噪声，存在过分割现象，lena的灰度变化没有在分割结果中反映出来，仅针对阈值小范围内的像素进行处理，避免不了无关像素对分割结果的影响。

图5 量子最大熵双阈值分割图

采用100次蒙特卡罗方法对实验进行对比，结果如表1所示。

表1 处理方法比较

最大熵多阈值分割方法的峰值信噪比较大，根据峰值信噪比的含义越大就代表失真越少，因此最大熵多阈值分割方法能够较好的保持图像信息，不会因分割而破坏图像信息。

4 总结

通过图像进行仿真可以得出:基于最大熵多阈值分割熵理论主要以图像中目标区域所携带的信息量为分割准则，最大限度地保留图像中分割目标的信息。从总体分割效果上看，它的处理能力较好，对有用信息的保留总量大，细节处理较好，最佳阈值的设定不仅可以减少算法的运算量，同时也提高图像恢复的精度。

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