沈 雷 陈 佩 王海泉 于 淼 孙闽红

（1.杭州电子科技大学通信工程学院，浙江 杭州310018；2.南京电讯技术研究所，江苏 南京210007）

引 言

随着无线通信的发展，频谱资源越来越拥挤，但是很多已经分配的频谱资源并没有得到有效利用［1］.认知无线电系统，通过容许非授权用户使用空闲的频谱，在不妨碍主用户通信的情况下，提高频谱的使用率，得到了很大的关注［2］.频谱检测，也就是检测信道中是否存在主用户信号的传输，是认知无线电系统一个重要的研究内容［3-15］.到目前为止，已经有很多种频谱检测方法被提出来.主要有匹配滤波器法［3］、能量检测法［4-7］、循环谱检测法［8］、特征值检测法［9-10］.这些检测方法既可以用在单天线系统中［3-10］，也可以用在多天线系统中［11-15］.

匹配滤波器法是一种最佳检测，能使接收输出信噪比最大，但是需要知道授权用户的所有先验知识，在先验知识不足时，无法应用.循环谱检测法利用已知授权用户的调制信息来提高低信噪比条件下频谱检测的性能，但所需样本时间长，计算复杂度高.能量检测算法是H.Urkowitz在1967年提出的［5］，由于不需要知道授权用户的任何先验知识，近年来被广泛应用到认知无线电系统的频谱检测中.但在低信噪比条件下，噪声干扰与授权用户的能量区分度变小，能量检测法性能下降［7］.在噪声方差未知情况下，如果噪声方差估计不准确，能量检测法性能急剧下降［6，13］.特征值检测方法利用接收到的信号样本协方差的特征值来进行信号检测，其理论基础是随机矩阵理论.特征值检测不需要知道授权用户信号的信息，也不需要知道信道噪声的方差，实现了盲检测，但样本协方差特征值计算的计算量和复杂度都比较大.

以上的频谱检测法，在本质上都是基于局部参数假设检验的频谱检测方法，以某个局部参数作为标准进行信号检测.我们在文献［16］提出了基于拟合优度检验的频谱检测方法，这是一种基于非参数假设检验的频谱检测方法，以信号的整体特征为标准进行信号检测.由于分布函数是信号整体特性的一个完整解析，文献［16］利用 Anderson-Darling（AD）检验，度量样本经验分布函数与某个已知函数之间的距离进行频谱检测.这种基于拟合优度的频谱检测方法比传统的基于局部参数的频谱检测方法具有更好的性能，特别是在低信噪比、小样本条件下.多天线系统的空间增益，能够带来频谱检测性能的提高.遗憾的是，文献［16］所提方法在多天线环境下无法适用.其原因是现有的AD检验理论并不能直接从单天线推广到多天线环境中.

特征函数是信号概率密度函数的傅里叶变换，是信号整体特征的另一种解析.由于接收样本的有限性，各种解析之间肯定是不等价的.文献［17］在单天线环境下，提出了基于特征函数的频谱盲检测方法，通过度量接收到信号的样本特征函数与已知特征函数之间的距离进行频谱检测，结果证明比传统的基于局部参数假设检验的频谱检测方法具有更好的性能，但并没有对其检测性能进行具体分析.

本文提出了多输入多输出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）系统基于多元特征函数的频谱盲检测算法，详细分析了基于多元特征函数的频谱盲检测算法的虚警概率和检测概率.理论分析和仿真结果表明，MIMO系统中基于多元特征函数的频谱盲检测算法比能量检测和基于特征值的频谱盲检测算法具有更好的性能.能量检测和基于特征值的盲检测方法是认知无线电中广泛应用的频谱检测算法.

1 MIMO系统中基于特征函数的频谱检测原理

文献［18］采用特征函数来判决接收到的信号是否符合高斯分布，文献［19］把这种方法推广到多元情况，用来检验向量信号是不是符合多元高斯分布.但两文献的方法只能用来判决接收到的信号是否存在高斯性，不能直接用来进行频谱检测.本节提出MIMO系统中基于特征函数的频谱检测算法，其具体原理叙述如下.

假设在认知无线电系统中，授权主用户发送端有M根天线，次用户接收端有P根天线.设次用户接收端第P根天线第l个样本为XP，l，把P根天线接收的第l个样本组成一个向量XP（l）＝［X1，l，…，XP，l］T，连续采样L次，得到L个样本向量，记为X＝｛XP（l）｝Ll＝1.

当信道中授权用户的发射信号不存在时，接收端只有高斯噪声，此时接收到的信号可以表示为

式中WP为服从均值为零，协方差为Σ的多元高斯分布，记作WP～NP（0，Σ），Σ＝diag｛σ21，…，σ2P｝，σ2P是第P根天线的高斯噪声方差.则向量X的特征函数是P维的向量.

当信道中存在授权用户信号传输时，由于受信号调制特性和信道传输特性的影响，XP（l）不服从P维均值为零，协方差为Σ的多元高斯分布.此时，其特征函数也不服从φ0（V）.这样 MIMO系统中，基于特征函数的频谱检测就可以等价于下列假设检验：

H0：X＝｛XP（l）Ll＝1｝是服从特征函数为

的随机向量.很明显，如果H0成立，则表明信道中没有授权用户信号传输；如果H0不成立，则表明信道中存在授权用户信号的传输，频谱被占用.

文献［20］中，为了检查随机变量的高斯性，定义了经验特征函数.根据相同的原理，定义随机向量的经验特征函数为

假如信道中不存在授权用户传输，则L趋向无穷时，经验分布趋向于零均值多元高斯正态分布，φL（V）趋向φ0（V）.而当信道中存在授权用户信息传输的时候，经验分布不再趋向于零均值的多元高斯正态分布，φL（V）不再趋向于φ0（V）.通过度量经验特征函数φL（V）与特征函数φ0（V）的距离，可以用来判决是否存在授权信号的传输.这里令特征函数距离统计为

式中：Ψ为加权函数，

det（·）表示对矩阵求行列式.从式（4）可以得到，统计量TL的计算，需要知道信道噪声的协方差.为了克服这个缺点，对信号进行盲检测，我们用样本协方差对信号进行归一化，定义修正的特征统计量为

式中：φ′L（V）是协方差归一化的经验特征函数，

SL为样本协方差；

在式（6）～（8）中，当信道中不存在授权用户传输，L趋向无穷大时，归一化经验特征函数φ′L（V）趋向φ′0（V）＝exp-VTV/（）2.当信道中存在授权用户传输的时候，φ′L（V）不趋向于φ′0（V）.根据这一事实，我们可以用统计量T′L来做检测.需要注意的是，修正统计量的T′L计算，并不需要知道噪声的协方差，实现了对信道的盲检测.

为了得到T′L的简明计算公式，对式（6）的积分进行展开，可得

式中：

由上面的分析可以得到，信道噪声方差未知情况下，基于特征函数的频谱盲检测等价于下面的假设检验：

式中t0表示检测门限，可通过式（9）～（11）仿真得到.如果 T′L＞t0，表明经验特征函数φ′L（V）与φ′0（V）距离很远，因此拒绝假设检验 H0，认为信道中存在授权信号的传输.如果T′L≤t0，表明经验特征函数φ′L（V）与φ′0（V）距离很近，假设 H0成立，认为信道中不存在授权用户信号的传输.

在虚警概率给定的情况下，通过式（9）～（11），利用Monte Carlo方法，可以得到检测门限.表1给出了虚警概率为0.05，不同接收天线个数P，不同样本个数L下的门限t0.当样本L大于50时，门限t0已不随样本个数的变化而变化，这是由于此时φ′L（V）与φ′0（V）已经足够近似.

表1 不同天线个数不同样本个数下的门限仿真值

综合上面的分析，在噪声方差未知情况下，MIMO系统中基于特征函数的频谱盲检测算法的步骤如下：

步骤1 根据给定的虚警概率，选择合适的门限t0.

步骤2 把P根天线接收到的第l个样本值，构成P 维向量XP（l）＝［X1，l，…，XP，l］T，并采样L个样本向量，记为X＝｛XP（l）｝Ll＝1.

步骤3 根据式（9）～（11），计算 T1L的值.

步骤4 作出判决：如果T′L＞t0，则假设H0不成立，信道是被占用的；否则假设H0成立，判决信道是空闲的.

2 MIMO系统基于特征函数的频谱盲检测性能分析

检测概率是频谱检测方法的重要性能，本节分析基于特征函数的频谱盲检测算法的检测概率.当信道中存在授权用户信号传输时，假设主用户有M根发射天线，此时次用户接收端接收到的向量信号可以表示为：

式中：H＝［H1，…，HP］T，Hp＝［h1，p，…，hm，p］T，hm，p表示主用户第m根发射天线和次用户第p根接收天线之间的衰落因子.这里假设信道是平稳慢衰落的，且服从高斯分布.也就是在L个向量样本采样期间，hm，p保持不变，而在另外L个向量样本采样期间，hm，p变化且服从零均值高斯分布.S＝［s1，…，sm］T表示授权用户m根天线所发射的信号.接收到的信号一般为复数，如果只处理实部的话，可以认为发射的信号为实数.为了简便，假设信号的能量为1，不失一般性，假设发射信号sm∈｛-1，1｝，各个分量统计独立.X服从均值为HS，协方差为Σ的多元高斯分布，记做X～N（HS，Σ）.向量X的特征函数φ1（V）＝exp （j STHTV-VTΣV/2）.当L趋向无穷时，协方差归一化的经验特征函数φ′L（V）趋向于φ′1（V）＝exp （j STHTΣ-1V-VTV/2）.

基于特征函数频谱盲检测的检测概率.给定衰落因子 H，设FT′L，H1（x）是检测统计量T′L在授权用户存在条件下（H1）的分布函数，由检测概率的定义可知：

由于T′L（H）是两个特征函数之间距离的统计，由三角不等式得

其中φ′1（V）为上文所提函数 .为了简便，令

式（14）可以化简为

在L，H 给定条件下，特征函数检测的统计量T′L（H）的累积分布函数可以表示为

式（17）中，第一个不等式根据马尔可夫不等式得到，第二个不等式由式（16）得到.MIMO系统中基于特征函数频谱盲检测的检测概率Pd（H）的下界为

在采样向量样本个数L和信道衰落因子H给定的条件下，由式（15）计算可得C（H）是一个大于零的常数.文献［20］表明当L→∞时，B2L（H）是有界分布，则E［eBL（H）］也是有界的.由式（17）～（18），对于给定的门限t0，或者虚警概率a，无论a取多小的值，随着样本数 L 的增加，FT′L，H1（H，t0）都趋向于0，检测概率Pd（H）趋向于1，变化的速率为o（e-C（H）L）.

瑞利衰落信道下，衰落向量因子H服从P维标准正态分布，由式（17）～（18），在设定门限t0后，特征函数频谱检测的平均检测概率下界为

平均检测概率Pd是Pd（H）的加权积分，同样对于给定的虚警概率，随着样本数L的增加，衰落信道下的平均检测概率趋向于1.

3 仿真结果与分析

为了验证理论分析的结果，本节给出Matlab环境下的仿真结果.这里信道采用高斯慢衰落信道，H中各个信道的衰落因子统计独立.发射天线发射的信号为双相移相键控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）调制信号，各个天线发射的信号统计独立.为了比较，在MIMO系统中，我们对基于特征函数的盲频谱检测法、基于能量的频谱检测法［14］、基于特征值的盲频谱检测法三种方法的性能分别做了仿真.这里能量检测法是在噪声方差已知情况下的仿真，而基于特征函数的频谱盲检测方法和基于特征值的频谱盲检测方法是在噪声方差未知情况下的仿真.基于特征值的频谱检测方法，采用最大最小特征值的比值作为检测的参数［14］.

图1给出了授权用户发射天线4根，次用户接收天线6根，采样向量样本L＝32，虚警概率Pfa＝0.05时，三种检测方法的检测概率.图2给出了授权用户发射天线2根，次用户接收天线3根，采样向量样本L＝64，虚警概率Pfa＝0.05时，三种检测方法性能的比较.

从图1可以看到：本文所提的基于特征函数的频谱盲检测方法性能比基于特征值的频谱盲检测性能提高了5dB左右信噪比SNR，比能量检测性能提高了大约3dB左右；而能量检测在噪声方差估计不准确时，性能急剧下降.在图2环境下，论文所提方法同样比传统方法具有更好的性能.

图1 不同频谱检测方法的检测概率比较

图3给出了三种检测方法的工作区间，仿真条件同样为授权用户发射天线个数M＝4，次用户接收天线个数P＝6，采样向量样本个数L＝32.从图3可以看到，在MIMO多天线系统中，基于特征函数的频谱盲检测方法比基于能量检测的频谱检测方法和基于特征值的频谱盲检测方法具有更好的性能.特别是在虚警概率小于0.1的区域，这个区域是实际工作环境对应的工作区间.

图2 不同频谱检测方法的检测概率比较

图3 不同频谱检测方法的工作区间比较

4 结 论

本文提出了MIMO系统中基于特征函数的频谱盲检测方法.所提算法不需要知道授权用户发射信号的任何先验知识，也不需要知道信道的噪声方差.理论分析和仿真结果表明，在MIMO系统中，基于特征函数的频谱盲检测方法比基于能量检测的频谱检测方法和基于特征值的频谱盲检测方法具有更好的性能.

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