袁闻，徐青，陈胜宏，邬爱清

（1.武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，武汉 430072; 2.长江科学院水利部岩土力学与工程重点实验室，武汉 430010）

边坡稳定分析的三维极限平衡法及工程应用

袁闻1，徐青1，陈胜宏1，邬爱清2

（1.武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，武汉 430072; 2.长江科学院水利部岩土力学与工程重点实验室，武汉 430010）

对于具有复杂空间几何特征和地质构造的实际工程边坡，在进行稳定分析评价时，需对其进行三维分析。通过发展完善边坡稳定分析的三维极限平衡法程序CORE-lam3D，可模拟真实的坡面、地质界面、地下水位面、滑动面等复杂空间曲面，可采用3种三维极限平衡分析方法对潜在的滑动面及其可能多个滑动方向进行分析计算，可分析水荷载、地震荷载、加锚等因素作用的影响。通过对瀑布沟库首右岸拉裂变形体的稳定性进行研究，说明了CORE-lam3D的实用性和可靠性。

边坡稳定分析;三维刚体极限平衡法;最危险滑动方向;坡面模拟

1 研究背景

边坡稳定分析的方法大体上可分为定性分析和定量分析2大类。在定量分析领域，极限平衡法凭借其简便和实用的优势占有重要地位。早期的极限平衡法主要将边坡视为二维问题进行分析。经过数十年的发展，边坡的二维极限平衡法已得到广泛使用，并积累了丰富的工程实践经验。但是，越来越多的工程问题由于其复杂的空间几何形状和地质构造而具有明显的三维效应，此时应对其进行三维稳定分析。有关边坡稳定三维极限平衡分析方法，已有众多学者进行了研究。国外学者曾有Hovland［1］，Hungr等［2］，Chen等［3］，Zhang Xing［4］及Lam等［5］等进行过相关研究。国内陈祖煜等［6］将二维Spencer法扩展到三维;李同录等［7］基于二维Sarma法的相关假定，提出了三维Sarma法;陈胜宏等［8］对二维剩余推力法进行扩展，提出了三维剩余推力法。上述这些方法多为满足3个或4个平衡条件的三维极限平衡法;在此之后，张均锋等［9］及朱大勇等［10］发展出了除绕铅垂方向的力矩平衡之外的，能满足5个平衡条件的准严格三维极限平衡法;郑宏［11］及朱大勇等［10］提出了能满足6个平衡条件的严格三维极限平衡法，这是边坡稳定的三维极限平衡分析领域的重大进步。

本文基于边坡二维极限平衡分析时常采用的Spencer法、Sarma法及剩余推力法，对其在三维条件下的扩展方法进行探讨，发展完善了笔者所在团队开发的三维极限平衡法程序CORE-lam3D［8，12-13］。程序可采用三维Spencer法、三维Sarma法和三维剩余推力法对实际工程边坡潜在的滑动面及多个滑动方向进行计算，并可考虑水荷载、地震荷载以及锚固力等因素的作用，对于坡面、地质界面、地下水位面和滑动面等复杂空间曲面，本文采用了一种工程地质插值函数对其进行模拟。与其他学者的研究成果相比，本文侧重于对边坡的地理信息和荷载信息的模拟，并提供了多种计算方法，从而实现实际工程边坡的三维稳定分析。

2 三维极限平衡分析方法

2.1 一般化模型

如图1（a）所示，将滑坡体置于整体坐标系oxyz中。令z轴铅直向上，x轴与滑动方向一致，y轴按z轴转向x轴右手螺旋法则确定，xoz平面为滑坡体的主滑面。竖直条分滑坡体成m行n列具有竖直界面的条块。平行于yoz平面的界面称为行界面，平行于xoz平面的界面称为列界面。

CORE-lam3D提供了三维Spencer法、三维Sarma法及三维剩余推力法3种方法，它们的条间力假定互不相同，其不考虑条间力的一般化模型的第i行j列的（i，j）条块受力，示意图如图1（b）所示。

图1 一般化模型示意图Fig.1Schematic of the generalized 3-D model

WW（i，j）为条块顶面受到的坡外水静水压力，其作用方向为顶面ABCD的内法线方向，用方向余弦ntx（i，j），nty（i，j），ntz（i，j）来表示，其作用点为（xp，yp，zp）x（i，j）。pwx（i-1，j）和pwx（i，j）分别为行界面ABFE和DCGH上的孔隙水压力，作用方向与x轴平行，作用点为（xw，yw，zw）x（i-1，j）和（xw，yw，zw）x（i，j）;pwy（i，j-1）和pwy（i，j）分别为行界面ADHE和BCGF上的孔隙水压力，作用方向与y轴平行，作用点为（xw，yw，zw）y（i，j-1）和（xw，yw，zw）y（i，j）。W（i，j）为条块重量，KW（i，j）为条块受到的水平向地震力，作用方向为与x轴呈θ角，假定自重和地震力作用点为均为条块的形心（xc，yc，zc）（i，j），FP（i，j）为条块所受集中力（包括锚固力），作用方向用方向余弦lx（i，j），ly（i，j），lz（i，j）表示，作用点为（xt，yt，zt）（i，j）。N（i，j）为作用在底滑面EFGH上的法向力，为有效法向力N'（i，j）和孔隙水压力U（i，j）的合力，作用方向为底滑面的内法线方向，用方向余弦nx（i，j），ny（i，j），nz（i，j）表示。T（i，j）为作用在底滑面上的剪切力，其作用方向与xoz平面的夹角为ρ（i，j）［6］，用方向余弦mx（i，j），my（i，j），mz（i，j）表示。对于ρ（i，j），剪切力的y轴分量为正时，ρ（i，j）为正值，假定同一列条块（y=常量）ρ相同，对不同列的条块，假定ρ在xoz平面的左、右两侧方向相反，并按分布函数f（y）分布，即ρ=f（y）;当y=0时，f（y）接近于0。y轴左右的f（y）视滑体左右的几何形状和物理指标而取不同的数值，当滑体左、右侧完全对称时，ρ应为0。假定N（i，j）和T（i，j）的作用点均为条块底面形心（xd，yd，zd）（i，j）;αx（i，j），α（y（i，j））分别为条块底滑面沿x轴和y轴方向的倾角;Axy（i，j）为条块底滑面的面积;Qx（i，j），Qy（i，j），Qz（i，j）分别为条块上除自重荷载W（i，j）、条间力和底面作用力N（i，j），T（i，j）之外的力的合力在x，y，z轴上的分量。

2.2 三维Spencer法

2001年，陈祖煜、弥宏亮、汪小刚等人在总结前人工作的基础上，发展出了一个理论方法较严密，计算步骤相对简单，同时收敛性能较好的三维极限平衡分析方法［6］，该方法可视为二维Spencer法在三维上的扩展。其单个条块力学模型如图2（a）所示。

图2 三维Spencer法条块受力示意图Fig.2Schematic of forces acting on the column by 3-D Spencer model

Px（i-1），Px（i，j），Py（i，j-1），Py（i，j）分别为作用在界面ABFE，DCGH，ADHE，BCGF上的条间力。

该方法条间力假定如下:

（1）作用在行界面ABFE，DCGH上的条间力Px（i-1，j），Px（i，j）平行于xoz平面，其与x轴的倾角β为常量，这一假定相当于二维领域中的Spencer法;

（2）作用在列界面ADHE，BCGF上的条间力Py（i，j-1），Py（i，j）的方向与y轴平行;

（3）所有条柱的底滑面均处于极限平衡状态。

将条块受力投影到xoz平面，对（i，j）条块，其沿S'（垂直Px（i，j）和Px（i-1，j））方向的静力平衡方程为

由条块底滑面满足摩尔-库伦准则:T（i，j）=［（N（i，j）-U（i，j））tanφ+cAxy（i，j）］/F，可求出条块底部法向力为

建立整个滑坡体的静力平衡方程和绕y轴的力矩平衡方程。由于在计算N（i，j）时，已经满足了每个条块S'方向的静力平衡条件，因此只需建立整体沿与S'方向垂直的S方向的静力平衡方程，即

建立绕y轴的整体力矩平衡方程（以逆时针方向为正）为

联立方程式（3）至式（5）（其中有3个未知数，即F，β，ρ），就可通过迭代求解安全系数F。在求解时还需满足每个条块的底滑面法向力大于0，即N（i，j）-U（i，j）≥0的合理性限制条件。

2.3 三维Sarma法

三维Sarma法由李同录等人在2003年提出［7］。单个条块力学模型如图3所示。

图3 三维Sarma法条块受力示意图Fig.3Schematic of forces acting on the column by 3-D Sarma method

Ex（i-1，j），Ex（i，j），Ey（i，j-1），Ey（i，j）分别为作用在界面ABFE，DCGH，ADHE，BCGF上的法向力; Hx（i-1，j），Hx（i，j），Hy（i，j-1），Hy（i，j）分别为作用在界面ABFE，DCGH，ADHE，BCGF上的条间剪切力。

该方法的条间力假定如下:

（1）作用在行界面上的条间剪切力平行于z轴，忽略作用在行界面上的水平向剪切力;

（2）作用在列界面上的条间剪切力平行于条柱底滑面;

（3）所有界面（行列界面和底滑面）均处于极限平衡状态，这一假定相当于二维领域中的Sarma法。

基于上述假定，建立（i，j）条块的关于x轴、y轴和z轴3个方向的静力平衡方程，再根据条块底滑面和行列界面均处于极限平衡状态，满足摩尔-库伦强度准则的条件，经过消元运算，得到一个未知量为N（i，j），ΔEx（i，j），ΔEy（i，j）的线性方程组为

式中:Axy（i，j）为条块底滑面面积;Ayz（i，j）为行界面面积;Axz（i，j）为列界面面积;ΔEx（i，j）=Ex（i，j）-Ex（i-1，j）; ΔEy（i，j）=Ey（i，j）-Ey（i，j-1）;Kx=nx（i，j）+mx（i，j）tanφ/ F;Ky=ny（i，j）+my（i，j）tanφ/F;Kz=nz（i，j）+mz（i，j）tanφ/F;D=（U（i，j）tanφ-cAxy（i，j））/F。

建立整个滑坡体沿x方向的静力平衡方程

将底滑面满足摩尔-库伦准则条件:T（i，j）=［（N（i，j）-U（i，j））tanφ+cAxy（i，j）］/F代入式（7），整理可得到安全系数的计算公式为结束，安全系数F=（F1+F0）/2，否则将F1赋值给F0，重复上述过程直至迭代终止。同样，三维Sarma法在求解时也要求满足每个条块的底滑面法向反力大于零，即N（i，j）-U（i，j）≥0的条件。

2.4 三维剩余推力法

三维剩余推力法是2005年由陈胜宏、万娜在二

通过迭代求解安全系数。将边界条件和假定的安全系数初值F0代入式（6），计算出所有条块底滑面的法向反力N（i，j），代入式（8），得到一个新的安全系数值F1，在指定的迭代次数内，至满足迭代终止条件维剩余推力方法的基础上发展出来的［8］。单个条块力学模型如图4所示。

图4 三维RTM法条块受力示意图Fig.4Schematic of forces acting on the column by 3-D residual thrust method（RTM）

Px（i-1，j），Px（i，j），Py（i，j-1），Py（i，j）分别为作用在界面ABFE，DCGH，ADHE，BCGF上的条间合力; Hx（i-1，j），Hx（i，j）分别为Px（i-1，j），Px（i，j）沿z轴方向的分量;Ex（i-1），Ex（i，j）分别为Px（i-1，j），Px（i，j）沿x轴方向的分量;Hy（i，j-1），Hy（i，j）分别为Py（i，j-1），Py（i，j）沿z轴方向的分量;Ey（i，j-1），Ey（i，j）分别为Py（i，j-1），Py（i，j）沿y轴方向的分量。

该方法的条间力假定如下:

（1）条柱行界面上条间合力Px（i，j）平行于xoz平面，其与x轴的夹角αx（i，j）与此条柱的底滑面与x轴方向的倾角保持一致，忽略行界面水平向剪力;

（2）条柱列界面上条间合力Py（i，j）平行于yoz平面，其与y轴的夹角αy（i，j）与此条柱的底滑面与y轴方向的倾角保持一致，忽略列界面水平向剪力;

（3）所有条柱的底滑面均处于极限平衡状态。

基于上述假定，建立（i，j）条块沿x轴、y轴和z轴3个方向的静力平衡方程，结合底滑面满足摩尔-库伦强度准则的条件，经消元运算可得到一个未知量为Ni，j，Px（i，j），Py（i，j）的线性方程组为

式中:Px（i，j）和Py（i，j）分别表示（i，j）条块沿x方向对同一列下一行条块的推力和沿y方向对同一行下一列条块的推力;Kx=nx（i，j）+mx（i，j）tanφ/F;Ky= ny（i，j）+my（i，j）tanφ/F;Kz=nz（i，j）+mz（i，j）tanφ/F;D= （U（i，j）tanφ-cAxy（i，j））/F。

求解时，首先将边界条件和假定的安全系数初值代入式（9），计算出第1行第1列条块（1，1）的底滑面法向反力N（1，1），（1，1）条块对同一列下一行条块（2，1）的推力Px（1，1）和（1，1）条块对同一行下一列条块（1，2）的推力Py（1，1）;再依次求出各条块的N（i，j），Px（i，j），Py（i，j），直至求出每一列最后一个条块的推力Px（i，j），令Pxj=Px（i，j）;记Pn为整个滑体的剩余推力，则，其中n为边坡离散列数;最后通过迭代调整F值直至Pn接近0时，迭代收敛，此时的F值即为所求边坡的整体稳定安全系数。

求解时，需满足以下合理性限制条件:

（1）每个条块的底滑面法向反力大于0，即N（i，j）-U（i，j）≥0;

（2）行列界面上均不能出现拉力，即Px（i，j）和Py（i，j）应大于0，若计算所得小于0，则在传递给下一条块时强制至0。

3 程序实现

3.1 三维边坡地理信息的模拟

在地质建模时，需要对坡面、地质界面，地下水位面和滑动面等界面进行模拟。对几何形状较简单的界面，采用平面、椭球面、球面和旋转椭球面等简单的数学函数来模拟，对于某些空间形状复杂的界面，采用以下工程地质插值函数来模拟［14］:

式中:A0，A1，A2为常数;ε为一个很小的正数，一般取ε=0.001。

将通过地质勘测获取的界面上的n个点坐标（Xi，Yi，Zi），（i=1，2，…，n）代入式（11），可得到n个线性方程。但是式（11）中总共有n+3个待定系数，因此需要补充以下强迫条件:

上述工程地质插值公式应用起来比较简单，而且模拟的曲面与实际的界面拟合较好。

3.2 滑动方向

实际工程边坡中，对于一个确定的滑裂面，其沿不同方向滑动的安全系数是不同的，因此，对可能的多个滑动方向进行计算具有重要意义。改变滑动方向后，计算采用的新坐标系的x轴正方向仍与滑动方向一致，新的坐标系中的坡面、地质界面，地下水位面和滑动面等界面，可通过对初始资料进行坐标变换和插值得到［15］。

4 工程应用

4.1 工程概况

瀑布沟水电站枢纽工程是大渡河上、中游控制性水库工程，水库正常蓄水位为850 m。

库首右岸拉裂变形体位于电站右岸坝轴线780 m处，前缘高程730 m，后缘高程1 187 m，前后缘平面长约400 m，宽约360 m，高差达457 m，地形上呈陡—缓—陡—缓（下陡上缓）的变化，地貌上呈现出沟梁相间的梳状地貌形态，其平面布置图如图5（a）中灰色区域所示。前期由平硐勘测获得了9个剖面的地质图，如图5（b）所示，各剖面平面布置如图5（a）所示。根据这些地质图揭露变形体主要由上部堆积体、卸荷松动岩体、强卸荷岩体、弱卸荷岩体和新-微风化岩体构成。

图5 拉裂变形体地质图Fig.5Geological map of the tension-distorted body

该拉裂变形体方量大、距大坝非常近且位置较高，其变形失稳将直接影响电站运营期间地下厂房取水口和大坝安全。通过对拉裂体变形破坏表现形式进行分析认为，其上部卸荷松动体（601区）和下部卸荷松动体（602区）有沿其底界产生滑移拉裂的趋势。由于该卸荷松动体地形地貌和底界具有很明显的三维特性，有必要对其进行三维分析，现研究采用CORE-lam3D分析其在天然状况下的稳定性。

4.2 二维分析结果

采用笔者所在研究团队开发的二维极限平衡分析程序CORE-lam2D对7个剖面进行了分析，材料参数如表1所示，所得安全系数如表2所示。

4.3 三维分析结果

601 区和602区的坡面、地质界面，地下水位面和滑动面等界面由前期的勘测资料确定，其平面分布范围如图6（a）所示，立视图如图6（b）所示。

表1 拉裂体材料参数表Table 1Parameters of materials of the tensiondistorted body

表2 天然工况二维极限分析计算结果Table 2Calculated results by different 2-D limit analysis methods under natural condition

图6 601区和602区示意图Fig.6Plan view and isometric view of zone 601and zone 602

由于天然工况时的地下水位分布在601区和602区滑动面以下，因此不需考虑地下水对滑体稳定性的影响。计算时，选取3-3剖面方向作为601区的滑动方向，1-1剖面方向作为602区的滑动方向，对601区和602区所在的坡体进行竖直条分，条块在xoy平面上的投影约为4 m×4 m的正方形。采用CORE-lam3D进行计算，计算结果如表3所示。

表3 三维计算与二维计算稳定分析成果Table 3Results of 3-D and 2-D calculation by three different analysis methods

从结果来看，三维滑坡体计算所得安全系数与相应的二维加权平均安全系数接近。各三维方法中，三维Sarma法的安全系数最大，三维Spencer次之，三维剩余推力法最小。除601区三维剩余推力法计算结果外，各三维计算方法安全系数较相应的二维加权安全系数均有不同程度的提高，最小提高0.063，最大提高0.169。说明考虑三维效应后，601区和602区的安全系数会有一定程度的提高。

5 结语

本文介绍了3种常用的三维极限平衡分析方法，并将其运用于瀑布沟库首右岸拉裂变形体的稳定分析。三维Sarma法假定所有的条块分界面和底滑面均达到剪切极限，因此计算的安全系数为上限解;三维Spencer法属于相对较严格的分析方法，它满足坐标系3个方向的静力平衡条件和1个力矩平衡条件，但由于忽略了条块列界面上的剪切力，因此计算结果偏低;三维剩余推力法源于工程实践，假定条块间传压不传拉，且不考虑力矩平衡，结果的变异性较大，有时可能会不满足合理性限制条件。从上述方法的假定和合理性限制条件出发，本文认为:这

3种方法均适用于岩质边坡和土质边坡的稳定分析;对于一些重要的滑坡，不宜采用Sarma法这类充分挖掘土体抗剪强度潜力的方法。而在具体进行工程应用时，可同时采用多种方法进行分析，这样基本可以将边坡的安全系数限定在一个合理的范围，从而为工程实践提供有价值的参考。

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（编辑:姜小兰）

Three-Dimensional Limit Equilibrium Method for Slope Stability Analysis and Its Engineering Application

YUAN Wen1，XU Qing1，CHEN Sheng-hong1，WU Ai-qing2
（1 State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science，Wuhan University，Wuhan430072，China;2.Key Laboratory of Geotechnical Mechanics and Engineering of MWR，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan430010，China）

Three-dimensional method is needed in the stability analysis for slope projects with complex spatial geometric features and geological structures.A computer program CORE-lam3D for 3-D slope stability analysis was improved and developed.The program can simulate complex space surface such as real slope，geologic boundary，groundwater level and slip surface.Potential slip surfaces and sliding directions can be calculated with three kinds of 3-D limit equilibrium analysis methods，and the impacts of water load，seismic load and anchoring forces were analyzed.The analysis results of a tension-distorted body on the right bank of the reservoir at Pubugou hydropower station verified the efficiency and applicability of the improved CORE-lam3D program.

slope stability analysis;3-D limit equilibrium method;the most dangerous sliding direction;simulation of slope surface

P642.3

A

1001-5485（2013）04-0056-06

10.3969/j.issn.1001-5485.2013.04.0132013，30（04）:56-61，84

2012-02-13;

2012-03-21

袁闻（1987-），男，江西抚州人，硕士研究生，主要从事水工结构及岩土工程的研究工作，（电话）027-68775330（电子信箱）yuanwenshl@163.com。

徐青（1965-），女，江苏溧阳人，副教授，主要从事水工结构及岩土工程的研究工作，（电话）15827109362（电子信箱）xuqing8263@ hotmail.com。