肖 辉 吕 波 马孟达 施煦盈 沈超明

江苏科技大学船舶与海洋工程学院 江苏镇江 212003

对于已建成的桁架结构，要准确计算其每根杆件的内力是不可能的，但在工程实践中，对于某些结构的安全性评估来说，测定其内力又是十分必要的，具有现实意义。笔者希望利用频率法来测定弹性杆模型的轴力，以期寻求桁架结构中杆件的轴力测定方法。目前频率法是测定桥梁拉索和吊杆张力的最为经济、实用的方法，经过多年的不断改进，其应用已经越来越成熟和普遍[1-4]；文献[5]则结合频率法和应变电测法对横向刚度较大的锅炉炉顶吊杆进行了张力测定。在这些测试中，除了计算模型的精确外，另一项重要的任务是必须准确地测量索或者杆的振动频率及阶次，否则测试的准确性无从保证。本文以桁架钢结构中的受拉杆为研究对象，以等截面的圆钢杆作为实验模型，利用频率法测定这些受拉弹性杆件的振动频率并进行轴向拉力的计算。模型实验主要利用万能试验机作为加载装置，在实验过程中发现，在杆件两端固支的情况下，试验机夹具的振动会对杆件振动信号的测量和分析造成干扰，造成弹性杆振动频率及阶次误判，这种情况在拉力较小的情况下特别突出。为此，本文测定了弹性杆在自由振动下的频率，并以此为基准值，对实验中其他约束条件下杆的振动频率进行修正；计算结果表明，这种方法是必要的，也是有效的。

1 基于频率法的弹性杆轴向拉力计算公式

首先对两端铰支且受轴向拉力的弹性杆作如下假设：(1)弹性杆在面内振动和面外摆振不具有耦合性，可以看成平面问题来研究；(2)振动引起的挠度远小于弹性杆的横向静载挠度，始终处于小变形范围内。在此基础上，考虑弯曲刚度影响，两端铰支的弹性杆的受力简图如图1a所示，在弹性杆上任取一个长度为dx的单元体，则此单元体的受力情况如图1b所示。

图1 弹性杆受轴向拉力F作用时的横向自由振动

由结构动力学原理[6]建立的微分振动方程，建立振动微分方程：

式中：E为弹性杆的弹性模量，GPa；EI为弹性杆的弯曲刚度，kN·m2；x为沿弹性杆轴向的坐标，m；y为弹性杆的横向振幅，m；F为弹性杆的拉力，kN；m为弹性杆的线密度，kg/m。

在两端铰支的边界条件下，可求出弹性杆的固有频率[6]：

由式(2)整理得弹性杆所受的轴向拉力F的表达式为

式中：l为弹性杆长度，单位m；fn为弹性杆的n阶振动频率，单位Hz；n为振动阶次。

文献[4]认为约束条件、长细比、刚度等对杆件拉力计算的影响可以归为对计算长度的影响，可以通过对弹性杆计算长度的修正来提高张力计算精度，故可将式(3)修正为：

式中l0为修正后的计算长度， l0=μ·l；μ为长度修正系数，可根据约束条件、长径比等具体情况进行实验标定。

2 试验机对弹性杆振动频率识别的影响

弹性杆振动频率的确定关系着我们轴力计算正确与否，而试验机加载系统会影响弹性杆振动频率的确定，限于篇幅，现列举两端固支和两端铰支两种约束条件下的部分实验数据进行分析比较。实验的加载装置为微机控制万能试验机，型号为CMT5105，振动信号采用振动及动态信号采集分析系统进行测试和频谱分析，型号为AZ804；实验选取了4根长度和长径比不等的钢制弹性杆，具体参数见表1，其中长度l为去除两端夹持段后可以自由振动的部分。

表1 弹性杆的物理参数

实验时，先取长径比最小的1号杆，将其两端固定在万能试验机的拉伸夹具内，在分别加载1 kN，2 kN和3 kN的拉力时，采用锤击法并通过振动及动态信号采集分析系统得到该弹性杆的频谱图如图2所示。

图2 两端固支的1号杆在不同轴向拉力下的频谱图

采用相同方法将2，3号弹性杆的两端固结于万能试验机的拉伸夹具内，得到其受1 kN的轴向拉力时的频谱图(如图3所示)：

图3 两端固支的2号及3号杆受1kN轴向拉力时的频谱图

由图2的a和b可知，两端固支的1号杆在分别受到1 kN和2 kN轴向拉力时，从频谱图上直读可得到其一阶振动的频率均为100 Hz，这显然和结构动力学原理相违背，即此时试验机夹具对杆件的振动信号测试和分析造成了干扰，会直接导致弹性杆振动频率和阶次的误判。从图2c可知，当杆件所受轴向拉力增大到3 kN时，之前存在的100 Hz的干扰频率消失，说明试验机夹具对于弹性杆振动测试的干扰程度和轴向拉力的大小相关。笔者将1号、2号和3号杆采用频谱图上的直读数据代入(4)式进行计算，通过实验标定得长度修正系数 ，并以万能试验机示值拉力为基准，最终计算结果见表2。

表2 两端固支的弹性杆轴向拉力计算

由表2可知，对于两端固支的同一根弹性杆，当加载的拉力从1 kN逐渐增大到3 kN时，计算得到的轴向拉力的误差从-553.1%降低到-23.02%，即轴向拉力越大，试验机夹具对弹性杆振动产生的影响越小，当拉力增大到一定值后影响可基本消除。对于不同长径比的弹性杆而言，2号和3号杆的计算误差明显降低，其中当轴向拉力为2 kN时，1号杆的误差为-326.6%，而2号和3号杆的计算误差分别为9.97%和9.99%，当轴向拉力为3 kN时，3号杆的计算误差仅为5.20%，已能满足工程需求；这表明随着弹性杆长度的增加，试验机夹具对弹性杆振动频率识别产生的干扰也将逐渐减小，相反，对于短杆而言，试验机夹具的干扰是必须考虑的。

为了研究不同约束条件对弹性杆振动频率分析和识别的影响，笔者卸除万能试验机的拉伸夹具，利用销钉将4号杆两端铰支于试验机的铰接夹具，如图4b所示。

图4 弹性杆试验照片

采用相同的测试方法，得到4号杆的频谱(如图5所示)：

图5 两端铰支的4号杆在不同轴向拉力下的频谱图

按图5中的频谱曲线直接获取4号杆的一阶振动频率，通过实验标定得该杆的长度修正系数为u=1.035，以万能试验机示值拉力为基准，计算结果见表3。

表3 两端铰支弹性杆的拉力计算

由表3可知，4号杆在两端铰支的情况下，同样呈现出随着加载的轴向拉力增加，计算误差逐渐减小的规律，而且在各级载荷下其误差相对两端固支的杆小得多，说明弹性杆在两端铰支的情况下，试验机及其夹具对弹性杆振动频率识别的影响很小，基本可以忽略。

3 弹性杆振动频率识别的修正

根据以上对实验现象的分析以及具体杆件在不同约束条件和轴向拉力作用下的计算可知，长径比较小的弹性杆在两端固支时必须排除试验机夹具的干扰，否则无法得到准确的振动频率及阶次。根据文献[6]所述原理可知，当弹性杆两端所受约束增强或者所受拉力增加时，其振动频率都将提高；即弹性杆在无约束且不受拉力时的自由振动的频率比其在受拉力时任何约束条件下的频率都低。在此，笔者提出将弹性杆在自由振动下的频率作为基准值，频谱图上凡是低于该值的频率都认为是干扰频率，而以该值之后的那一阶振动频率作为弹性杆的一阶频率，从而对实验中各种约束条件和轴向拉力下杆的振动频率进行修正。

实验时，首先将弹性杆一端用橡皮筋悬挂于试验机上部的铰支夹具处(如图6所示)。由于橡皮筋刚度极小，故它对弹性杆的约束可忽略不计，此时弹性杆处于无约束的自由振动状态，采用上述相同的锤击法并采集数据做频谱分析知，1号弹性杆在无约束时的一阶振动频率为325 Hz，根据前文提出的判定准则，笔者对图2中各级载荷下的频谱图重新识别，得到修正的一阶频率，计算结果见表4。

图6 弹性杆无约束自由振动试验照片

表4 修正后两端固支的弹性杆轴向拉力计算

由表4可知，利用修正后的一阶频率计算得到1号杆在两端固支条件下的张力计算误差远小于修正前，其中在轴向拉力为2 kN时的计算误差仅为-3.20%，而在修正前的误差则达到-326.6%。

4 结束语

利用万能试验机对两端固支的弹性杆模型进行加载时，试验机及其夹具的振动会对杆件振动信号的测量和识别造成干扰，容易导致振动频率及阶次误判。本文提出的利用弹性杆在无约束自由振动下的频率作为基准值，对实验中杆的振动频率进行修正的方法可以解决这一问题，计算结果表明，该方法是行之有效的。此外，笔者通过实验发现如下规律：

(1)弹性杆振动频率的识别与其长径比、所受拉力大小和约束形式等因素紧密相关。

(2)在两端铰支的约束下，试验机及其夹具对弹性杆的振动不会产生明显影响。

(3)在两端固支时，随着弹性杆长径比的增加，试验机夹具对弹性杆振动频率识别产生的干扰逐渐减小；当轴向拉力不断加大时，这种干扰也呈现下降趋势。

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